Действия с дробями: сначала назовите единицу счета

Где мы на карте

Мы уже умеем менять запись дроби, сохраняя точку, и ставить разные дроби на
одну шкалу. Теперь эта общая шкала позволит складывать и вычитать. Умножение
ответит «какая часть от части», а деление — «сколько таких порций помещается».

Сначала знакомый образ

Три яблока плюс два яблока дают пять яблок, потому что единица счета одна.
Половина литра плюс треть литра пока записаны разными долями. Нельзя получить
«две пятых»: половины и трети не складываются как одинаковые предметы. Сначала
перережем литр на шестые.

Сложение и вычитание

1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6. Теперь единица счета — одна шестая:

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

Знаменатель после сложения остается 6, потому что размер одной доли не изменился.
Мы пересчитали количество шестых: три плюс две.

Для вычитания смысл тот же: 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12.

Умножение как часть от части

Найти 2/3 от 3/4 означает взять две трети уже выбранных трех четвертей.
Нарисуйте прямоугольник: закрасьте 3 из 4 вертикальных полос, затем в другой
стороне разделите все на 3 и выделите 2 ряда. Пересечение занимает 6 клеток из
12: 6/12 = 1/2.

Короткая запись 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 описывает площади пересечения. Поэтому
умножаются и числители, и знаменатели.

Деление как вопрос «сколько помещается»

3/4 ÷ 1/8 спрашивает: сколько порций размера 1/8 помещается в 3/4?
Приведем к восьмым: 3/4 = 6/8. В шести восьмых помещается шесть порций по
одной восьмой. Ответ 6.

Правило умножения на обратную дробь появится из этой модели. Для начала каждый
раз формулируйте вопрос о порциях. Если ответ на 1/2 ÷ 1/4 получился меньше
единицы, оценка сразу обнаружила ошибку: в половине две четверти.

Опорный сигнал урока

• + и −: одинаковый размер долей;
• ×: часть от части;
• ÷: сколько делителей помещается;
• после любого действия: оценка размера.

Разобранный пример

В кувшине было 5/6 литра, выпили 1/4 литра. Сколько осталось?

1. Действие — вычитание известных объемов.
2. Общий знаменатель 12.
3. 5/6 = 10/12, 1/4 = 3/12.
4. 10/12 − 3/12 = 7/12 литра.
5. Оценка: было чуть меньше литра, убрали четверть, осталось немного больше
   половины. 7/12 соответствует.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Для рецепта нужна половина от 3/5 килограмма муки. Слово «от» предлагает
умножение: 1/2 × 3/5. Нарисуйте прямоугольник 2 на 5, найдите пересечение и
запишите полученную дробь. Затем сократите ее, если возможно.

Самостоятельно объясните 2/3 ÷ 1/6: сколько шестых содержится в двух третях?

Воспроизведите без подсказки

1. Почему у 1/5 + 2/5 знаменатель не становится 10?
2. Вычислите 2/3 + 5/12 и оцените ответ до вычисления.
3. Покажите рисунком 3/4 × 2/5.
4. Составьте бытовой вопрос для 5/6 ÷ 1/3.

Найдите и исправьте ошибку

Руслан записал 2/3 + 1/4 = 3/7. Он сложил подписи долей, поэтому одновременно
изменил и количество, и размер частей. Приведите дроби к двенадцатым, исправьте
ответ и сравните его с 3/7 на числовой прямой.

Перенос в новую ситуацию

Бак заполнен на 3/5. За час расходуется 1/10 полного бака. Сколько часов
система сможет работать? Здесь дроби описывают долю емкости, но действие —
деление: мы выясняем число порций по 1/10 внутри 3/5.

Задание

Обязательное. Решите задачу: в мастерской было 7/8 листа фанеры. На одну
деталь ушло 1/3 листа, а на вторую — половина от оставшегося после первой
детали. Какая часть исходного листа осталась? Покажите единицу счета на каждом
шаге, дайте точный ответ и проверку приблизительным размером.

На своих данных. Составьте рецепт на половину или полторы исходной порции и
пересчитайте не менее двух ингредиентов.

По желанию. Объясните рисунком, почему деление на 1/2 удваивает число
порций, хотя слово «деление» часто связывают с уменьшением.

Открытая перспектива

В следующем уроке дробь станет отношением двух величин. Мы научимся сохранять
рецепт при любом количестве порций и увидим начало линейной функции.

Оглавление курса