Отношение: рецепт, который сохраняется при любом масштабе

Где мы на карте

Дробь сравнивала часть с единицей. Отношение сравнивает две величины. На этой
опоре стоят масштаб карты, скорость, плотность, курс валют, проценты, наклон
прямой и множество инженерных расчетов.

Сначала знакомый образ

Для каши берут 2 стакана крупы и 3 стакана воды. Запись 2:3 не означает, что
всего есть только пять стаканов. Она говорит: на каждые две одинаковые меры
крупы приходится три такие меры воды.

Если рецепт удвоить, получится 4:6; если утроить — 6:9. Вкус сохраняется,
потому что обе величины изменяются одним множителем.

Точное значение

Отношение a:b можно записать дробью a/b, если b ≠ 0. Оно отвечает, сколько
единиц первой величины приходится на одну единицу второй, или связывает две
величины в одном рецепте.

Порядок важен. Отношение крупы к воде 2:3, воды к крупе 3:2. В ответе всегда
называйте, что стоит первым и что вторым.

Величины должны быть приведены к совместимым единицам. Отношение 2 метров к
50 сантиметрам нельзя честно записать 2:50; сначала 2 м = 200 см, затем
200:50 = 4:1.

Опорный сигнал урока

назвать порядок → согласовать единицы → найти одну долю → масштабировать обе

Ключевое слово — обе. Если увеличить только воду, получится другой рецепт.

Разобранный пример

Автомобиль прошел 180 км за 3 часа с постоянной скоростью. Сколько пройдет за
5 часов?

1. Отношение расстояния ко времени: 180 км : 3 ч.
2. Находим значение на одну единицу времени: 180 ÷ 3 = 60 км/ч.
3. За 5 часов: 60 × 5 = 300 км.
4. Проверка: времени стало в 5/3 раза больше, расстояние тоже должно стать в
   5/3 раза больше; 180 × 5/3 = 300.

Величина 60 км/ч называется единичным отношением или скоростью: сколько
километров приходится на один час.

Таблица как мост к функции

Каждый столбец сохраняет отношение путь/время = 60. На координатной плоскости
точки лежат на одной прямой через начало. Позже запись станет y = 60x. Сейчас
важно увидеть одну связь в трех формах: рецепт, таблица, график.

Пример с уменьшающейся подсказкой

На карте 4 см соответствуют 10 км. Какое расстояние соответствует 7 см?

Сначала найдите километры на 1 см: 10 ÷ 4 = 2,5. Затем умножьте на 7. Проверьте:
7 см больше 4 см, поэтому ответ должен быть больше 10 км.

Теперь самостоятельно решите обратную задачу: сколько сантиметров на карте
занимают 30 км?

Воспроизведите без подсказки

1. Объясните различие 2:3 и 3:2.
2. Почему 4:6 равно 2:3?
3. Приведите 1,5 метра и 30 сантиметров к одному отношению.
4. Постройте таблицу для цены 450 тенге за килограмм при массе 1, 2, 3 и 5 кг.

Найдите и исправьте ошибку

Айша увеличила рецепт 2:3 до 4:5, прибавив по 2 к обоим числам. Отношение
изменилось: 2/3 ≈ 0,67, а 4/5 = 0,8. Чтобы сохранить рецепт, нужно умножать
обе части на один множитель, а не прибавлять одно число.

Перенос в новую ситуацию

Два тарифа: 1 200 тенге за 8 ГБ и 1 650 тенге за 12 ГБ. Название «дешевле» не
определяется общей ценой. Найдите цену одного гигабайта в каждом тарифе,
согласуйте единицы и только затем сравните.

Задание

Обязательное. Для краски смешивают синюю и белую основу в отношении 3:5.
Нужно получить 24 литра смеси. Найдите объем каждого компонента двумя способами:
через одну долю и через уравнение. Затем проверьте сумму и сохранение отношения.
Объясните, почему ответы 9 и 15 литров образуют именно нужный цветовой рецепт.

На своих данных. Выберите цену упаковки, расход топлива, рецепт или масштаб.
Найдите значение на одну единицу и постройте таблицу минимум из четырех строк.

По желанию. Найдите пример отношения, которое не является прямой
пропорциональностью, и объясните, какая дополнительная величина мешает.

Открытая перспектива

Процент — это отношение к специальной удобной единице 100. В следующем уроке
мы выведем его из уже понятной связи, без трех заученных формул.

Оглавление курса