Порядок действий и оценка: сначала план, затем точный счет

Где мы на карте

Мы понимаем четыре действия по отдельности. Теперь одно выражение может содержать
несколько шагов. Порядок действий нужен, чтобы все прочитали одну запись
одинаково, а оценка — чтобы ошибка в точном вычислении не выглядела правдой.

Сначала знакомый образ

Представьте рецепт: сначала смешать муку с водой, затем полученное тесто разделить
на четыре части. Если сначала разделить только воду, получится другой процесс.
Скобки в математике похожи на отдельную миску: они явно показывают, что должно
быть собрано раньше.

Запись 240 − 6 × (18 + 7) — не строка команд слева направо. Она описывает
дерево: сначала сумма в скобках, затем произведение, затем разность.

Точное правило

В обычном числовом выражении:

1. выполняются действия в скобках, начиная с самых внутренних;
2. затем умножение и деление слева направо;
3. затем сложение и вычитание слева направо.

Умножение не всегда «важнее» сложения по смыслу. Это соглашение о записи. Если
автору нужен другой порядок, он ставит скобки. Выражения 20 − 3 × 4 = 8 и
(20 − 3) × 4 = 68 различаются именно структурой.

Оценка заменяет числа близкими и удобными, чтобы получить район ответа.
Она не обязана совпасть с точным значением. Ее задача — ответить, возможен ли
результат и какого он примерно размера.

Опорный сигнал урока

скобки → умножение и деление → сложение и вычитание

Над ним держим проверку:

округлить → назвать диапазон → вычислить точно → сравнить.

Разобранный пример

Вычислим 240 − 6 × (18 + 7).

1. Строим план: сумма → произведение → разность.
2. Оценка: 18 + 7 = 25, значит вычитаем примерно 6 × 25 = 150 из 240.
   Ответ должен быть около 90 и обязательно меньше 240.
3. Скобки: 18 + 7 = 25.
4. Умножение: 6 × 25 = 150.
5. Вычитание: 240 − 150 = 90.
6. Точный ответ попал в ожидаемый район.

Если получить 1386, оценка остановит нас раньше, чем мы станем защищать неверный
алгоритм.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Вычислите 360 ÷ (12 − 3) + 17.

План: сначала ____, затем ____, в конце ____.
Оцените: знаменатель близок к 10, поэтому частное близко к 36, а весь ответ — к
53. Точно: 12 − 3 = 9, 360 ÷ 9 = 40, 40 + 17 = 57.

Объясните, почему ответ 23, полученный делением 360 на 12 и последующим
вычитанием 3, относится к другому выражению.

Равноправные действия идут слева направо

В выражении 48 ÷ 6 × 2 деление и умножение имеют одинаковую ступень. Идем слева
направо: 48 ÷ 6 = 8, затем 8 × 2 = 16. Нельзя автоматически делать
умножение первым. Аналогично 20 − 7 + 3 = 13 + 3 = 16.

Воспроизведите без подсказки

Закройте карту. Для выражения 100 − 4 × (9 + 6) назовите план, оцените ответ,
затем вычислите. После этого поставьте скобки так, чтобы из тех же чисел получить
совсем другой положительный результат.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик написал: 80 − 20 ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12. Он пошел слева направо, хотя
деление выполняется раньше вычитания. Верно: 20 ÷ 5 = 4, затем 80 − 4 = 76.
Оценка также предупреждает: из 80 вычитают небольшое число, поэтому 12 невозможно.

Перенос в новую ситуацию

Семья покупает три билета по 4500 тенге и использует один купон на 2000 тенге.
Стоимость выражается как 3 × 4500 − 2000, а не 3 × (4500 − 2000): купон
применяется один раз, а не к каждому билету. Структура выражения хранит смысл
условия.

Задание

Обязательное. Решите 75 − 5 × (9 + 3), (75 − 5) × 9 + 3 и
144 ÷ 8 × 3. Перед каждым точным расчетом запишите план стрелками и диапазон,
в который должен попасть ответ.

На своих данных. Составьте выражение для покупки нескольких одинаковых
товаров, доставки и одной скидки. Объясните, какие скобки изменили бы смысл.

По желанию. Найдите два разных способа расставить скобки в
24 − 8 ÷ 2 + 2 и получите два разных результата. Проверьте каждый по дереву.

Открытая перспектива

До сих пор числа лежали справа от нуля. Следующий урок продолжит прямую влево и
покажет, почему отрицательный знак может обозначать число, направление или
операцию вычитания.

Оглавление курса