Показательная функция и логарифм: рост множителем и обратный вопрос

Где мы на карте

Линейная модель прибавляет одинаковую величину. Показательная модель за каждый
равный шаг умножает значение на один и тот же коэффициент. Логарифм обращает
степень и отвечает, сколько таких шагов произошло.

Сначала знакомый образ

Колония содержит 500 клеток и каждый час удваивается. Через t часов количество
равно N = 500 × 2ᵗ. Последовательность начинается 500, 1000, 2000, 4000.
Разности растут, но отношение соседних значений всегда равно 2.

Если известно, что множитель вырос от 500 до 4000, вопрос «сколько удвоений?»
записывается 2ᵗ = 8. Ответ t = 3. Логарифмическая запись того же факта:
log₂ 8 = 3.

Точная модель

Показательная функция имеет вид y = A × bˣ, где A — начальное значение,
b > 0, b ≠ 1 — постоянный множитель шага. При b > 1 наблюдается рост, при
0 < b < 1 — убывание.

Логарифм определяется равенством:
log_b a = c тогда и только тогда, когда bᶜ = a.
Для действительных логарифмов нужны b > 0, b ≠ 1, a > 0.

Опорный сигнал урока

равный шаг → одинаковый множитель b → A·bˣ → сколько шагов? → log_b

Сначала определите, сохраняется разность или отношение. Это отделяет линейную
модель от показательной.

Разобранный пример

Для N = 500 × 2ᵗ найдём значение через три часа и время достижения 4000.

1. N(3) = 500 × 2³ = 500 × 8 = 4000.
2. Обратный вопрос: 500 × 2ᵗ = 4000.
3. Делим на 500: 2ᵗ = 8.
4. Так как 8 = 2³, получаем t = 3.
5. Записываем t = log₂ 8 = 3.

Проверка возвращает найденный показатель в исходную модель.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Вклад 100 000 тенге ежегодно умножается на 1,05. Запишите сумму через n лет,
найдите её через 2 года и сравните с простым прибавлением 5000 два раза. Затем
объясните, почему на втором году процент начисляется на новую сумму.

Свойства логарифмов из свойств степеней

Если bᵐ × bⁿ = bᵐ⁺ⁿ, то
log_b(uv) = log_b u + log_b v. Деление даёт разность логарифмов, а степень —
множитель перед логарифмом. Эти свойства требуют допустимых положительных
аргументов и не превращают логарифм суммы в сумму логарифмов.

log_b(u + v) обычно нельзя упростить.

Воспроизведите без подсказки

Объясните различие между прибавлением 20 и умножением на 1,2. Переведите между
формами 3⁴ = 81 и log₃81 = 4. Назовите область определения log₂x и
почему ноль туда не входит.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик решил, что последовательность 100, 150, 200, 250 показательная,
потому что она растёт. Но разность постоянна и равна 50, а отношения меняются.
Это линейный рост.

Другой ученик написал log₂(4 + 4) = log₂4 + log₂4 = 4. Слева log₂8 = 3.
Правило суммы для логарифмов отсутствует; сложение аргументов нельзя заменить
сложением логарифмов.

Перенос в новую ситуацию

Лекарство каждый час сохраняет 75% текущего количества. Модель
M = M₀ × 0,75ᵗ описывает показательное убывание. Найдите долю через 3 часа,
сравните её с линейным вычитанием 25% исходной дозы каждый час и объясните
различие баз расчёта.

Задание

Обязательное. Для модели P = 200 × 3ᵗ составьте таблицу для t = 0,1,2,3,
найдите время достижения 5400 и запишите ответ логарифмом. Переведите записи
5³ = 125, 10⁻² = 0,01 в логарифмические и обратно переведите
log₂32 = 5.

На своих данных. Найдите пример процента роста или убывания, укажите базу,
множитель одного шага и ограничения модели.

По желанию. Сравните на таблице y = 2x и y = 2ˣ для целых x от 0 до 6.
Найдите момент, после которого показательная функция уходит вперёд.

Открытая перспектива

Последовательность хранит значения процесса по отдельным шагам. Следующий урок
свяжет формулу члена, правило перехода и сумму накопленных значений.

Оглавление курса