Теорема Пифагора: расстояние из площадей квадратов

Где мы на карте

Формулы площади становятся доказательством: квадраты на двух сторонах прямоугольного треугольника вместе равны квадрату на третьей.

Сначала знакомый образ

Если пройти 3 квартала на восток и 4 на север, прямое расстояние не равно 7. Диагональ соединяет начало и конец кратчайшим отрезком.

Точное значение

В прямоугольном треугольнике a²+b²=c², где c — гипотенуза напротив прямого угла. Обратная теорема позволяет проверить прямоугольность по сторонам.

Важно всякий раз назвать единицы, соответствующие элементы и условие применимости. Рисунок помогает думать, но доказательством становится только цепочка утверждений, где для каждого шага указана причина.

Сделайте три представления одной ситуации: аккуратный чертёж с обозначениями,
словесное описание связи и вычислительную запись. Если они противоречат друг
другу, остановитесь до вычислений и исправьте модель. Полезная привычка —
сначала предсказать, должен ли ответ быть больше или меньше известных величин,
а после решения проверить его измерением либо независимым свойством фигуры.

Опорный сигнал урока

найти прямой угол → назвать гипотенузу → квадраты катетов → уравнение → положительный корень → оценка

Проговорите сигнал вслух и восстановите его без страницы. Затем свяжите каждый переход с определением или уже доказанным свойством.

Разобранный пример

Для катетов 3 и 4: c²=3²+4²=9+16=25, значит c=5. Проверка: гипотенуза больше каждого катета и меньше их суммы.

После вычисления проверяем знак, порядок величины, единицу и геометрический смысл. Если возможно, используем второй способ: измерение, обратную теорему, координаты или разбиение фигуры.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Катеты 5 и 12. Запишите уравнение для c, оцените ответ между 12 и 17, затем найдите точное значение.

Сначала сделайте чертёж и отметьте известное. Формулу выбирайте только после того, как назвали объекты и связь между ними. Последний шаг выполните без подсказки и объясните словами.

Воспроизведите без подсказки

Объясните теорему площадями и назовите условие, без которого формула неприменима.

Дополнительно ответьте: что было дано, что требовалось доказать или найти, почему выбранное свойство применимо и как обнаружить неправдоподобный ответ.

Найдите и исправьте ошибку

Ошибка: при сторонах 6 и 10 написать c²=6²+10², не выяснив, что 10 уже самая длинная сторона и может быть гипотенузой. Правильно искать второй катет: b²=10²−6².

Исправление считается полным, если названа причина ошибки, записан верный шаг и показана проверка. Простая замена числа без объяснения не восстанавливает способ.

Перенос в новую ситуацию

Найдите диагональ прямоугольного экрана по ширине и высоте. Сравните вычисление с указанной производителем диагональю после согласования единиц.

Укажите точность исходных измерений. Реальный объект отличается от идеальной модели толщиной линий, неровностью поверхности и погрешностью инструмента; это нужно учитывать в выводе.

Задание

Обязательное. Лестница длиной 6,5 м стоит основанием в 2,5 м от стены. Найдите высоту, проверьте тройкой 5–12–13 и объясните ограничения модели.

На своих данных. Найдите бытовой или технический объект той же структуры. Сделайте схему, измерьте нужные величины, выполните расчёт и отделите точный математический вывод от приближённого измерения.

По желанию. Через семь дней замените числа и положение рисунка, затем решите без опорной схемы. Сравните не только ответы, но и основания шагов.

Открытая перспектива

Окружность собирает все точки на одном расстоянии от центра и вводит постоянную π.

Оглавление курса