Комбинаторика: как считать варианты и не пересчитывать их вручную

Где мы на карте

Мы уже умеем умножать, работать с дробями и обозначать неизвестные. Теперь эти опоры помогают считать количество возможных решений ещё до того, как выбран один конкретный вариант.

Сначала знакомый образ

Представьте пять книг A, B, C, D и E. Для первого и второго места порядок важен: AB и BA — разные результаты. Для пары книг на одной полке порядок выбора не важен: AB и BA описывают один набор.

Точное значение

Правило суммы применяют к взаимоисключающим случаям: число вариантов складывают. Правило произведения применяют к последовательным шагам: число возможностей на шагах перемножают. Перестановка P(n,k)=n!/(n−k)! учитывает порядок. Сочетание C(n,k)=n!/(k!(n−k)!) порядок не учитывает. Перед формулой нужно ответить на два вопроса: повторение разрешено и важен ли порядок.

До вычислений назовите объект наблюдения, возможные исходы или вершины модели. Подпишите единицы и отделите то, что дано, от того, что предполагается. Если порядок, зависимость или способ отбора меняет ответ, зафиксируйте это отдельной строкой.

Не начинайте с формулы. Сначала изобразите структуру: дерево, точечный график, таблицу истинности, сеть или цикл модели. После расчёта вернитесь к изображению и проверьте, соответствует ли число исходной конструкции.

Опорный сигнал урока

описать выбор → разделить на шаги → порядок? → повторы? → сумма или произведение → формула → проверить перечислением

Проговорите сигнал вслух. Для каждой стрелки объясните условие перехода и приведите пример, где это условие нарушается.

Разобранный пример

Из пяти книг выбирают победителя и второе место. На первое место есть 5 вариантов, после него на второе остаётся 4: P(5,2)=5·4=20. Если выбирают две книги без мест, каждая пара была посчитана дважды: C(5,2)=20/2=10. Список AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE подтверждает десять пар.

Проверьте ответ вторым способом: перечислением, дополнением до единицы, пересчётом суммы, альтернативным маршрутом, прямой подстановкой или повторным наблюдением.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Сколько трёхзначных кодов можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 без повторений? Запишите число возможностей на каждом шаге, вычислите 4·3·2, а затем перечислите только коды, начинающиеся с 1, чтобы проверить одну четверть результата.

Сначала предскажите порядок результата и только потом считайте. Последний шаг и проверку выполните без образца.

Воспроизведите без подсказки

Закройте формулы и восстановите их смысл словами. Объясните, почему деление на k! превращает упорядоченный выбор k объектов в неупорядоченный набор.

Запишите также контрпример или граничный случай. Он показывает, понимаете ли вы условие, а не только запомнили ли последовательность действий.

Найдите и исправьте ошибку

Ошибка: для выбора председателя и секретаря из пяти человек использовать C(5,2)=10. Роли различаются, поэтому пара А–Б даёт два назначения: А председатель и Б секретарь либо наоборот. Верно P(5,2)=20.

Исправление полно, когда названа причина ошибки, восстановлен правильный шаг и показана независимая проверка.

Перенос в новую ситуацию

Составьте расписание двух разных занятий из пяти доступных тем и отдельно выберите две темы для общего проекта. Сравните количества и объясните, где один и тот же набор порождает несколько порядков.

Отделите факты от предположений. Если данные собраны неслучайно или модель упрощает реальность, прямо укажите, какой вывод остаётся допустимым.

Задание

Обязательное. В классе 8 учеников. Найдите число способов: а) выбрать старосту и заместителя; б) выбрать комиссию из двух человек; в) выбрать комиссию из трёх человек, если один конкретный ученик обязан войти. Для каждого пункта назовите роль порядка, повторов и выполните проверку на меньшем примере из четырёх учеников.

На своих данных. Создайте небольшой пример той же структуры, сохраните исходные данные, выполните расчёт и попросите другого человека воспроизвести результат по вашей записи.

По желанию. Через семь дней измените числа или условия и решите без опорной схемы. Сравните рассуждение и проверку, а не только ответ.

Открытая перспектива

Подсчитанные равновозможные исходы позволят перейти от количества вариантов к мере неопределённости — вероятности.

Оглавление курса