Системы уравнений: точка, где выполняются два условия

Где мы на карте

Одно уравнение задаёт условие. Система требует, чтобы одна и та же пара значений
одновременно удовлетворяла нескольким условиям. Для двух линейных уравнений это
поиск общей точки двух прямых.

Сначала знакомый образ

В коробке 10 предметов двух видов: тетради и ручки. Тетрадь стоит 200 тенге,
ручка — 100, общая стоимость 1600 тенге. Если x — число тетрадей, y — число
ручек, то получаем два условия: x + y = 10 и 2x + y = 16, где второе
уравнение записано в сотнях тенге.

Нужна одна пара, которая сохраняет и количество, и стоимость.

Три способа увидеть решение

• График: построить обе прямые и прочитать точку пересечения.
• Подстановка: выразить одну переменную и заменить ею эту переменную во
  втором уравнении.
• Сложение или вычитание: убрать одну переменную, сочетая уравнения.

Способы не конкурируют. График объясняет количество решений, точное вычисление
даёт ответ, а подстановка в исходные условия проверяет его.

Опорный сигнал урока

два условия → одна пара → убрать одну переменную → найти вторую → вернуть первую → двойная проверка

Пара записывается в согласованном порядке (x; y). Проверить только одно
уравнение недостаточно.

Разобранный пример

Решим систему x + y = 10, 2x + y = 16 вычитанием.

1. Вычитаем первое уравнение из второго:
   (2x + y) − (x + y) = 16 − 10.
2. Получаем x = 6.
3. Подставляем в первое уравнение: 6 + y = 10, поэтому y = 4.
4. Проверяем первое условие: 6 + 4 = 10.
5. Проверяем второе: 2 × 6 + 4 = 16.
6. Ответ (6; 4) удовлетворяет обоим условиям и соответствует шести тетрадям и
   четырём ручкам.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Решите систему y = 3x − 2 и y = x + 4. Поскольку обе правые части равны
одному y, приравняйте их. Найдите x, затем y. Постройте обе прямые по двум
точкам и убедитесь, что вычисленная пара находится в пересечении.

Сколько решений возможно

Разные наклоны дают одно пересечение. Параллельные различные прямые не имеют
общих точек, поэтому система не имеет решений. Совпадающие прямые описывают одно
условие двумя способами и дают бесконечно много решений.

Например, x + y = 5 и 2x + 2y = 10 совпадают после деления второго уравнения
на 2. А x + y = 5 и x + y = 7 противоречат друг другу.

Воспроизведите без подсказки

Объясните смысл решения системы без слова «алгоритм». Решите подстановкой
x = y + 1, x + y = 9. Затем опишите по коэффициентам пример системы с нулём
решений и пример с бесконечным числом решений.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик получил x = 6 и остановился. Но решение системы — пара. Значение y
ещё нужно найти и проверить. Другой ученик вычел уравнения, но записал
y − y = y. Одинаковые величины уничтожаются: y − y = 0.

Построчная запись вычитания помогает сохранить знаки у каждого слагаемого.

Перенос в новую ситуацию

На мероприятии продали 120 билетов: взрослые по 3000 тенге и детские по 1800.
Выручка 302 400 тенге. Введите переменные, составьте систему количества и денег,
сократите денежное уравнение и найдите оба числа. Проверьте сумму билетов и
выручку отдельно.

Задание

Обязательное. Решите системы тремя подходящими способами:
x + y = 13, x − y = 3; затем y = 2x + 1, y = −x + 7; затем
2x + 4y = 8, x + 2y = 4. Для каждой назовите число решений и выполните
проверку в исходных уравнениях.

На своих данных. Составьте задачу о двух видах покупки, где известны общее
количество и стоимость. Решите и объясните единицы.

По желанию. Измените одну константу в совпадающей системе так, чтобы прямые
стали параллельными. Покажите противоречие после преобразования.

Открытая перспектива

Линейные выражения растут в первой степени. Следующий урок введёт степени и
корни — язык повторного умножения, масштаба и обратных операций.

Оглавление курса