Переменная: имя для числа, которое может меняться

Где мы на карте

До этого мы работали с уже известными числами. Теперь появляется величина,
значение которой может быть неизвестно или меняться. Для неё удобно завести
короткое имя: x, t, d или другую букву. Так арифметика превращается в
язык, способный описать сразу множество похожих ситуаций.

Сначала знакомый образ

Представьте пустую подписанную коробку. На коробке написано d — расстояние в километрах. Сегодня в ней может оказаться 5, завтра 12,5, а для отменённой
поездки — 0. Подпись остаётся, число меняется. Буква работает так же: она хранит
роль величины, даже когда её значение ещё не выбрано.

Такси берёт 700 тенге за посадку и 120 тенге за каждый километр. Если d —
расстояние, то цена C описывается записью C = 700 + 120d. Здесь 120d
означает 120 × d. Для пяти километров коробка получает значение d = 5, и
цена становится 700 + 120 × 5 = 1300 тенге.

Что именно обозначает буква

Одна и та же буква в пределах задачи должна означать одну и ту же величину.
Недостаточно написать x = 5: нужно назвать, пять чего именно. В задаче о
поездке это могут быть километры, минуты или пассажиры, и формулы для них будут
разными.

Переменная может играть несколько ролей:

• неизвестное число, которое предстоит найти;
• меняющаяся величина, для которой рассматривают разные значения;
• произвольное допустимое число в общем правиле.

Допустимые значения задаёт смысл. Расстояние поездки не бывает отрицательным,
число целых стульев не равно 3,7, а температура может быть ниже нуля. Это
называют областью допустимых значений.

Опорный сигнал урока

буква → название величины → единица → допустимые значения → подстановка → проверка

Произносите запись словами. C = 700 + 120d означает: «цена в тенге равна
плате за посадку плюс 120 тенге, умноженные на расстояние в километрах».

Разобранный пример

Абонемент стоит 2500 тенге, а одно занятие — ещё 800 тенге. Пусть n — число
занятий, а S — общая стоимость. Тогда S = 2500 + 800n.

Для n = 6:

1. называем величину: n — шесть занятий;
2. подставляем число в скобках: S = 2500 + 800 × 6;
3. сначала умножаем: 800 × 6 = 4800;
4. прибавляем постоянную часть: S = 7300 тенге;
5. оцениваем: шесть занятий стоят чуть меньше 5000, вместе с 2500 получается
   немного больше 7000 — ответ правдоподобен.

При n = 0 формула даёт 2500. Это не ошибка: остаётся цена самого абонемента.

Пример с уменьшающейся подсказкой

В баке было 60 литров воды. Каждую минуту из него уходит 4 литра. Пусть t —
число прошедших минут. Объём задаёт выражение V = 60 − 4t.

Найдите V при t = 7: подставьте 7 вместо каждой буквы t, сохраните знак
минус и порядок действий. Затем определите, какие целые значения t допустимы,
если насос останавливают при пустом баке. Проверьте крайние случаи t = 0 и
момент, когда V = 0.

Запись равенства и выражения

700 + 120d — выражение: оно сообщает, как вычислить значение. Запись
C = 700 + 120d — равенство, связывающее две величины. А запись
700 + 120d = 1900 становится уравнением: в ней ищут расстояние, при котором
цена равна 1900 тенге. Эти три записи связаны, но отвечают на разные вопросы.

Воспроизведите без подсказки

Не глядя на опорный сигнал, объясните, зачем переменной имя, единица и область
допустимых значений. Для формулы P = 90m + 350 назовите возможный жизненный
смысл каждой части, вычислите P при m = 8 и объясните результат при m = 0.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик увидел 5a + 3 и при a = 4 записал 54 + 3 = 57. Он склеил цифры,
хотя отсутствие знака между числом и буквой означает умножение. Правильно:
5 × 4 + 3 = 23. Проверка повторным сложением 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 3
даёт тот же результат.

Вторая возможная ошибка — поменять значение только у одной из одинаковых букв.
В выражении a² + 2a обе буквы a получают одно значение.

Перенос в новую ситуацию

Прямоугольник имеет ширину w сантиметров, а длину на 3 сантиметра больше.
Длина равна w + 3, периметр — P = 2w + 2(w + 3). Назовите допустимые
значения w, найдите периметр при w = 5 и нарисуйте прямоугольник для проверки.
Изображение связывает буквы с настоящими сторонами и не даёт потерять второй
множитель 2.

Задание

Обязательное. Для трёх ситуаций введите переменные, укажите единицы и
допустимые значения: стоимость k одинаковых книг по 3200 тенге с доставкой
900 тенге; расстояние при скорости 70 км/ч за t часов; остаток от 48 конфет
после раздачи по 3 конфеты каждому из p детей. Составьте выражения, вычислите
их при k = 4, t = 2,5, p = 9 и проверьте смыслом.

На своих данных. Найдите дома или в телефоне правило с постоянной и
переменной частью: тариф, доставку, расход воды или накопление. Запишите его
словами, затем буквами и проверьте на двух значениях.

По желанию. Придумайте два разных жизненных сюжета для одного выражения
1000 + 250x. Объясните, почему единицы меняют смысл, хотя вычисление остаётся
тем же.

Открытая перспектива

Переменная дала имя числу. Следующий урок научит читать и преобразовывать целые
математические фразы — выражения — так, чтобы их значение не менялось.

Оглавление курса