Дифференциальные уравнения: закон изменения как модель процесса

Где мы на карте

Производная находила скорость по известной функции, интеграл восстанавливал накопление. Теперь исходным условием становится связь между величиной и её скоростью.

Сначала знакомый образ

Если на банковский счёт за равные доли времени начисляется процент от текущей суммы, прибавка тем больше, чем больше уже накоплено. Фраза «скорость пропорциональна количеству» и есть модель y′=ky.

Точное значение

Дифференциальное уравнение связывает неизвестную функцию с её производными. Семейство y=Ce^{kt} решает y′=ky; начальное условие y(0)=y₀ выбирает C=y₀. Знак k задаёт рост или спад, а размерность k обратна единице времени.

Перед вычислением назовите независимую переменную, зависимую величину и единицы. Формула должна описывать тот же процесс, что таблица, график и словесное условие.

Сначала предскажите знак и порядок ответа. Затем выполните преобразования, проверьте область допустимых значений и истолкуйте результат в исходной ситуации. Совпадение числа с ответом без объяснения ещё не показывает владение способом.

Держите рядом четыре окна одного процесса: небольшую таблицу значений, эскиз графика, формулу и предложение на обычном языке. Меняйте один параметр и наблюдайте, как одновременно меняются остальные окна. Такой переход между представлениями защищает от механического запоминания: если формула забыта, её смысл можно восстановить по графику и единицам; если рисунок неточен, вычисление и граничный случай обнаружат противоречие.

Опорный сигнал урока

величины → словесный закон → уравнение → общее семейство → начальное условие → проверка → границы модели

Проговорите сигнал вслух и восстановите его без страницы. Для каждой стрелки объясните, какое условие разрешает переход.

Разобранный пример

Для y′=0,05y, y(0)=100 получаем y=100e^{0,05t}. Проверка: y′=5e^{0,05t}=0,05y; при t=0 значение равно 100.

Проверьте вычисление вторым представлением: таблицей, графиком, обратным действием, подстановкой или анализом единиц.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Решите T′=−0,2(T−20), если T(0)=80, пользуясь формой T=20+Ce^{−0,2t}. Сначала найдите C и предскажите предел температуры.

Сделайте первый переход по подсказке, следующий — после собственного прогноза, а завершение и проверку выполните без образца.

Воспроизведите без подсказки

Восстановите переход от фразы «скорость убывания пропорциональна остатку» к уравнению и объясните роль начального условия.

Добавьте один контрпример, показывающий границу правила, и один вопрос, которым можно обнаружить ошибку в решении.

Найдите и исправьте ошибку

Ошибка: записать для спада положительное k и не проверить поведение. Формальная подстановка, знак, единицы и предел при большом времени должны согласоваться с процессом.

Исправление полно, когда названа причина, восстановлен верный шаг и показана независимая проверка.

Перенос в новую ситуацию

Выберите рост аудитории, остывание, лекарство в организме или наполнение ёмкости. Назовите допущения модели и событие, после которого коэффициент уже нельзя считать постоянным.

Отделите точную математическую модель от измерений и допущений реального мира. Укажите, какие данные сильнее всего влияют на ответ.

Задание

Обязательное. Количество вещества убывает по закону M′=−0,3M, M(0)=50. Найдите M(t), время достижения 10 единиц и проверьте решение подстановкой и монотонностью.

На своих данных. Найдите процесс с той же структурой, задайте величины и единицы, выполните расчёт и объясните границы модели.

По желанию. Через семь дней измените числа или условия и решите без опорной схемы. Сравните ход рассуждения, а не только ответы.

Открытая перспектива

Контрольная точка соединит предел, производную, оптимизацию, интеграл и дифференциальную модель в одной системе проверок.

Оглавление курса