Дробь — это число, а не два числа друг над другом

Где мы на карте

Дробь соединяет деление с отношениями, процентами, алгеброй и измерениями. Если
здесь запомнить только «верх» и «низ», все последующие правила придется хранить
отдельно. Мы построим один образ, из которого правила можно восстановить.

Сначала знакомый образ

Есть одна лепешка и восемь человек. Чтобы разделить поровну, лепешку режут на
восемь равных частей. Каждому достается одна восьмая: 1/8. Если трое уже
получили свои куски, выдано 3/8 лепешки.

Слово «равных» решающее. Три куска разного размера не образуют 3/8, даже если
кусков ровно три.

Точное значение

В записи 3/8:

• знаменатель 8 говорит, на сколько равных долей разбита единица;
• числитель 3 говорит, сколько таких долей взято;
• черта означает деление: 3/8 = 3 ÷ 8;
• вся запись обозначает одно число и одну точку на числовой прямой.

Знаменатель не может быть нулем. Разделить единицу на ноль равных частей — не
действие, которому можно назначить размер части.

Опорный сигнал урока

единица → равные доли → размер одной доли → сколько долей

Для 3/8: единица — вся лепешка; равных долей восемь; одна доля 1/8; взяли
три доли. Проведите эту цепочку для каждого нового примера.

Разобранный пример

Лента длиной 1 метр разделена отметками на 5 равных отрезков. От начала прошли
3 отрезка. Где мы находимся?

1. Единица — один метр.
2. Ее разделили на 5 равных отрезков: размер каждого 1/5 метра.
3. Прошли 3 таких отрезка: 3 × 1/5 = 3/5 метра.
4. На прямой точка 3/5 находится между 0 и 1, правее половины.
5. Проверка оценкой: три из пяти долей — больше половины и меньше целого. Ответ
   соответствует оценке.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Два одинаковых батона поровну разделили между тремя семьями.

Единица для ответа — один батон. Деление записывается как 2 ÷ 3, значит каждая
семья получает 2/3 батона. Нарисуйте два прямоугольника, разделите каждый на
три равные части и соберите у одной семьи по части от каждого. Получатся две
доли размера 1/3.

Теперь объясните сами: почему ответ не 3/2?

Смешанное число и дробь больше единицы

Дробь не обязана быть меньше единицы. 7/4 означает семь четвертей. Четыре
четверти собирают одну единицу, остаются три четверти: 7/4 = 1 3/4.

Опора та же: размер доли задается знаменателем, число долей — числителем. Когда
долей больше, чем нужно на одну единицу, точка уходит правее 1.

Воспроизведите без подсказки

1. Закройте определение и объясните 5/6, не используя слова «верх» и «низ».
2. Покажите 5/6 рисунком, делением и точкой на прямой.
3. Объясните, почему 5/0 не обозначает число.
4. Превратите 9/4 в смешанное число и проверьте обратным сбором четвертей.

Найдите и исправьте ошибку

Ерлан нарисовал круг, провел три луча под случайными углами, закрасил два
сектора и подписал 2/3. Ошибка не в числе закрашенных частей. Части не равны,
поэтому каждая не имеет размера 1/3. Нужно разделить целое на три равные доли.

Перенос в новую ситуацию

Автомобиль проехал 120 километров из маршрута 200 километров. Единицей теперь
служит весь маршрут. Пройденная часть — 120/200. Пока не сокращайте дробь.
Сначала объясните, что означают оба числа и почему ответ должен быть между нулем
и единицей.

Задание

Обязательное. Один резервуар вмещает 12 одинаковых ведер воды. В нем уже 7
ведер. Представьте заполненную часть тремя способами: дробью, точкой между 0 и 1
и словесным объяснением числителя и знаменателя. Затем ответьте, какую дробь
резервуара нужно долить. Обязательно объясните, почему две дроби вместе дают
целое.

На своих данных. Возьмите упаковку, мерную кружку или длину комнаты. Назовите
единицу, способ получить равные доли и измеренную дробь.

По желанию. Придумайте пример, где дробь больше единицы, и нарисуйте его.

Открытая перспектива

В следующем уроке мы увидим, почему 1/2, 2/4 и 50/100 — разные записи одной
точки, а не три разных числа.

Оглавление курса