Вероятность: мера неопределённости от нуля до единицы

Где мы на карте

Комбинаторика научила считать варианты. Вероятность добавляет к вариантам веса и отвечает, насколько ожидаемо событие до наблюдения результата.

Сначала знакомый образ

В непрозрачном мешке лежат три красных и два синих шара. Мы не знаем цвет следующего шара, но знаем состав мешка. После извлечения без возвращения состав меняется, поэтому меняются и вероятности второго шага.

Точное значение

Вероятность события — число от 0 до 1. Для равновозможных исходов P(A)=m/n, где m — благоприятные исходы, n — все исходы. Дополнение имеет вероятность P(not A)=1−P(A). В последовательности зависимых шагов используют условную вероятность: P(A∩B)=P(A)P(B|A). Независимость означает, что знание A не меняет вероятность B; её нельзя предполагать только ради удобства.

До вычислений назовите объект наблюдения, возможные исходы или вершины модели. Подпишите единицы и отделите то, что дано, от того, что предполагается. Если порядок, зависимость или способ отбора меняет ответ, зафиксируйте это отдельной строкой.

Не начинайте с формулы. Сначала изобразите структуру: дерево, точечный график, таблицу истинности, сеть или цикл модели. После расчёта вернитесь к изображению и проверьте, соответствует ли число исходной конструкции.

Опорный сигнал урока

исходы → событие → веса ветвей → условие изменилось? → умножить вдоль пути → сложить подходящие пути → сумма всех исходов 1

Проговорите сигнал вслух. Для каждой стрелки объясните условие перехода и приведите пример, где это условие нарушается.

Разобранный пример

Для двух извлечений без возвращения вероятность красного сначала 3/5. После красного остаются два красных среди четырёх шаров, поэтому P(RR)=3/5·2/4=6/20=3/10. Проверка сочетаниями: всего C(5,2)=10 пар шаров, красных пар C(3,2)=3, значит снова 3/10.

Проверьте ответ вторым способом: перечислением, дополнением до единицы, пересчётом суммы, альтернативным маршрутом, прямой подстановкой или повторным наблюдением.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Найдите вероятность получить ровно один синий шар при двух извлечениях без возвращения. На дереве есть два подходящих пути: RB и BR. Вычислите каждый путь отдельно и только затем сложите.

Сначала предскажите порядок результата и только потом считайте. Последний шаг и проверку выполните без образца.

Воспроизведите без подсказки

Восстановите определения исхода, события, условной вероятности и независимости. Приведите один пример независимых событий и один пример, где первый шаг меняет второй.

Запишите также контрпример или граничный случай. Он показывает, понимаете ли вы условие, а не только запомнили ли последовательность действий.

Найдите и исправьте ошибку

Ошибка: после первого красного шара оставить вероятность второго красного равной 3/5. Без возвращения в мешке уже четыре шара и только два красных, поэтому условная вероятность равна 2/4.

Исправление полно, когда названа причина ошибки, восстановлен правильный шаг и показана независимая проверка.

Перенос в новую ситуацию

Оцените вероятность опоздания автобуса по собственным наблюдениям. Отделите частоту в собранных данных от точной теоретической вероятности и назовите факторы, из-за которых завтрашний день может отличаться.

Отделите факты от предположений. Если данные собраны неслучайно или модель упрощает реальность, прямо укажите, какой вывод остаётся допустимым.

Задание

Обязательное. В мешке 4 белых, 3 чёрных и 1 зелёный шар. Два шара извлекают без возвращения. Найдите вероятности: а) оба белые; б) цвета различны; в) хотя бы один зелёный. Решите последнюю задачу через дополнение и проверьте сумму вероятностей всех взаимоисключающих случаев.

На своих данных. Создайте небольшой пример той же структуры, сохраните исходные данные, выполните расчёт и попросите другого человека воспроизвести результат по вашей записи.

По желанию. Через семь дней измените числа или условия и решите без опорной схемы. Сравните рассуждение и проверку, а не только ответ.

Открытая перспектива

Вероятность говорит о модели случайного механизма. Следующий урок научит сначала честно описывать уже наблюдённые данные.

Оглавление курса