Неравенства и интервалы: множество решений вместо одного числа

Где мы на карте

Уравнение обычно ищет значения, при которых две части равны. Неравенство
описывает порядок: одна величина меньше, больше, не меньше или не больше другой.
Решением часто становится целый участок числовой прямой.

Сначала знакомый образ

Лифт выдерживает не более 630 кг. В нём уже находится груз 210 кг, а один
пассажир по расчёту весит 70 кг. Если p — число пассажиров, ограничение
записывается 210 + 70p ≤ 630.

Фраза «не более» включает границу: ровно 630 кг допустимы. Поэтому используется
знак ≤, а не <. После решения получится p ≤ 6, но смысл добавляет условия:
число пассажиров целое и неотрицательное. Возможны 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Четыре знака

• a < b: a меньше b, граница не включена;
• a ≤ b: a меньше или равно b, граница включена;
• a > b: a больше b, граница не включена;
• a ≥ b: a больше или равно b, граница включена.

На прямой невключённую границу показывают пустой точкой, включённую —
закрашенной. Луч идёт в сторону всех подходящих чисел.

Опорный сигнал урока

прочитать границу → решить как равновесие → при отрицательном множителе развернуть знак → отметить границу → проверить точкой

Направление знака меняется только при умножении или делении обеих частей на
отрицательное число. При прибавлении и вычитании знак сохраняется.

Разобранный пример

Решим 3x + 2 ≤ 14.

1. Вычитаем 2 из обеих частей: 3x ≤ 12.
2. Делим обе части на положительное 3: x ≤ 4.
3. На прямой ставим закрашенную точку 4 и проводим луч влево.
4. Проверяем границу: при x = 4 получаем 14 ≤ 14 — верно.
5. Проверяем число из луча, например 0: 2 ≤ 14 — верно.
6. Проверяем число вне луча, например 5: 17 ≤ 14 — неверно.

Три проверки подтверждают и включение границы, и направление луча.

Почему знак иногда разворачивается

Сравним 2 < 5. Умножим оба числа на −1: получим −2 и −5. На прямой
−2 находится правее, значит −2 > −5. Умножение на отрицательное число
отражает прямую относительно нуля и меняет порядок.

Поэтому из −2x > 6 после деления на −2 следует x < −3. Если оставить знак
без изменения, проверка числом сразу покажет ошибку.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Решите 7 − 2y > 15.

Сначала вычтите 7 из обеих частей. Затем разделите на отрицательное число и
объясните, что происходит со знаком. Отметьте ответ на прямой. Проверьте
границу, одно подходящее и одно неподходящее значение. Помните: строгое
неравенство не включает точку границы.

Интервальная запись

Луч x ≤ 4 можно записать (-∞; 4]: круглая скобка у бесконечности, квадратная
у включённой четвёрки. Двойное ограничение −2 < x ≤ 4 задаёт промежуток
(−2; 4]. Сначала полезно нарисовать прямую и только затем переводить её в
скобки.

Воспроизведите без подсказки

Объясните различие между < и ≤ на примере возраста. Покажите на прямой
x > −2 и x ≤ 3. Решите 5x − 4 < 11, назовите границу, её включение и
направление луча. Придумайте число для проверки каждой стороны границы.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик получил из −3x ≤ 12 ответ x ≤ −4. Он разделил на −3, но не
развернул знак. Возьмём x = 0: исходное неравенство 0 ≤ 12 верно, однако
ноль не входит в ошибочный луч. Правильный ответ x ≥ −4.

Ещё одна ошибка: рисовать пустую точку для x ≥ 5. Равенство разрешено знаком
≥, поэтому точка 5 должна быть закрашена.

Перенос в новую ситуацию

На поездку есть не больше 18 000 тенге. Билет стоит 4200, а один день проживания
— 2300 тенге. Для d дней: 4200 + 2300d ≤ 18 000. Решение вещественного
неравенства даёт верхнюю границу 6 дней, а смысл дополнительно требует целого
неотрицательного числа.
Проверьте 6 и 7 дней прямой подстановкой и сформулируйте практический ответ.

Задание

Обязательное. Решите, изобразите и проверьте:
4x + 1 < 13, 18 − 3x ≥ 6, −5x > 20 и 2 ≤ x + 4 < 9.
Для каждого ответа укажите, включена ли граница, и приведите одно подходящее и
одно неподходящее число.

На своих данных. Составьте ограничение для бюджета, вместимости или времени.
Укажите, непрерывна ли величина или принимает только целые значения, и объясните,
как это меняет практический ответ.

По желанию. Найдите пересечение условий x > −3 и x ≤ 5, затем их
объединение. Покажите оба результата на отдельных прямых и сформулируйте словами.

Открытая перспектива

Теперь мы умеем давать имя числу, преобразовывать выражение, сохранять равенство,
указывать адрес точки и описывать область значений. Следующий урок проверит эти
опоры на новых задачах и свяжет их в единый предалгебраический маршрут.

Оглавление курса