Десятичные дроби: разрядная лестница продолжается вправо

Где мы на карте

Мы знаем целые разряды и смысл обычной дроби. Десятичная дробь соединяет эти две
опоры. Она нужна деньгам, измерениям, процентам, координатам и приближенным
вычислениям. Запятая не превращает запись в отдельный вид математики.

Сначала знакомый образ

Один метр разделили на десять равных частей. Одна часть — 1/10 метра, или
0,1 м. Если каждую десятую разделить еще на десять, получим сотые: 0,01 м,
то есть один сантиметр. Еще один такой шаг дает тысячные: один миллиметр.

Движение на разряд вправо делает единицу в десять раз меньше, как движение влево
делало ее в десять раз крупнее.

Точное значение

В записи 12,375:

• 1 означает один десяток;
• 2 — две единицы;
• 3 — три десятых;
• 7 — семь сотых;
• 5 — пять тысячных.

Поэтому 12,375 = 12 + 3/10 + 7/100 + 5/1000.

Нули справа после последней ненулевой цифры не меняют значение:
0,5 = 0,50 = 0,500. Они уточняют разряд записи. Но ноль перед пятеркой важен:
0,05 — пять сотых, в десять раз меньше пяти десятых.

Опорный сигнал урока

единицы | десятые | сотые | тысячные

одинаковое место ↔ одинаковый размер доли

знаменатель 10ⁿ ↔ n цифр после запятой

Разобранный пример

Переведем 3/8 в десятичную дробь.

1. Ищем знаменатель 10, 100 или 1000. Число 8 делит 1000.
2. Умножаем числитель и знаменатель на 125:
   3/8 = 375/1000.
3. 375 тысячных записываются 0,375.
4. Проверка делением: 3 ÷ 8 = 0,375.
5. Оценка: 3/8 меньше 1/2, а 0,375 < 0,5.

Не каждая обычная дробь дает конечную запись. Например, 1/3 = 0,333...:
тройка повторяется без конца. Это не ошибка деления, а свойство знаменателя.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Сложите 2,7 + 0,46.

Сначала допишите ноль: 2,70 + 0,46. Складывайте сотые с сотыми, десятые с
десятыми, единицы с единицами. Получится 3,16.

Оценка: 2,7 + примерно 0,5 ≈ 3,2, поэтому ответ правдоподобен. Запись 2,116
возникла бы при соединении цифр, а не величин.

Сравнение и действия

Чтобы сравнить 0,8 и 0,75, запишите одинаковое число разрядов:
0,80 > 0,75. Восемь десятых — это восемьдесят сотых.

При сложении и вычитании выравнивают запятые, потому что тогда совпадают разряды.
При умножении на 10 каждая цифра переходит в разряд в десять раз крупнее:
3,47 × 10 = 34,7. Фраза «переносим запятую» описывает внешний вид, но смысл —
изменение разрядного значения цифр.

Воспроизведите без подсказки

Разложите 4,062 по разрядам и объясните оба нуля. Представьте 0,35 обычной
дробью, сократите ее, затем сравните 0,35 и 3/8 без калькулятора.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик решил 1,4 + 0,08 = 1,12, сложив 4 и 8 как одинаковые разряды. Но 4 —
десятые, а 8 — сотые. Запишем 1,40 + 0,08 = 1,48. Оценка подтверждает: к 1,4
прибавили небольшое положительное число, результат должен быть немного больше
1,4, а не меньше.

Перенос в новую ситуацию

Доска длиной 2,4 метра разделена на части по 0,15 метра. Число частей равно
2,4 ÷ 0,15. Умножим обе величины на 100, сохраняя отношение:
240 ÷ 15 = 16. Единицы тоже подтверждают ответ: 240 сантиметров по 15
сантиметров дают 16 частей.

Задание

Обязательное. Разложите 7,305 по разрядам; переведите 7/20 и 13/25 в
десятичные дроби; вычислите 4,08 + 0,7, 6,2 − 1,85 и 0,24 × 5. Перед каждым
точным ответом запишите оценку.

На своих данных. Возьмите три цены или измерения с десятичными знаками,
приведите их к одной единице и найдите сумму и разность наибольшего и наименьшего.

По желанию. Исследуйте знаменатели от 2 до 12 и разделите дроби 1/n на те,
у которых десятичная запись заканчивается, и те, у которых она повторяется.

Открытая перспектива

Следующая контрольная точка соединит количество, разряды, четыре действия,
порядок, отрицательные числа, делимость и десятичную запись. После нее можно
перейти к дробям без скрытых провалов в основании.

Оглавление курса