Делимость и простые числа: из каких множителей собрано число

Где мы на карте

Умножение собирает число из множителей, деление разбирает его обратно. Теперь мы
исследуем, какие разбиения выполняются без остатка. Эта опора понадобится для
равных дробей, общих знаменателей, степеней и алгебраических преобразований.

Сначала знакомый образ

Двадцать четыре плитки можно уложить прямоугольниками 1 × 24, 2 × 12,
3 × 8 и 4 × 6. Каждая длина стороны делит 24 без остатка. А тринадцать
плиток образуют только 1 × 13, если нельзя ломать плитку.

Прямоугольник делает делимость видимой: число делится на размер ряда, когда все
предметы входят в полные равные ряды.

Точное значение

Целое число a делится на ненулевое целое b, если существует целое k
такое, что a = b × k. Тогда b и k — делители a.

Число больше единицы называется простым, если у него ровно два положительных
делителя: 1 и оно само. Число больше единицы с другими делителями называется
составным. Число 1 не простое и не составное: у него только один
положительный делитель.

Каждое составное натуральное число можно разложить на простые множители. Порядок
множителей может меняться, но сам набор с учетом повторений единственен.

Опорный сигнал урока

делится без остатка ↔ можно собрать равные полные группы

составное число → простые множители → общие части видны

Разобранный пример

Разложим 84 на простые множители.

1. 84 четное: 84 = 2 × 42.
2. 42 четное: 42 = 2 × 21.
3. 21 = 3 × 7.
4. Числа 2, 3 и 7 простые.
5. Поэтому 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7.
6. Проверка: 4 × 3 × 7 = 12 × 7 = 84.

Дерево можно начать иначе, например 84 = 12 × 7, но на концах появятся те же
простые множители.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Разложите 90.

90 = 9 × 10 = (3 × 3) × (2 × 5).

Запишите в порядке возрастания: 90 = 2 × 3² × 5. Теперь найдите общую часть
разложений 84 и 90. У обоих есть один множитель 2 и один множитель 3, поэтому
наибольший общий делитель равен 2 × 3 = 6.

Признаки как быстрые проверки

Число делится на 2, если последняя цифра четная; на 5 — если последняя цифра 0
или 5; на 10 — если последняя цифра 0. На 3 число делится, если сумма его цифр
делится на 3. Это проверки, а не определение делимости.

Например, у 372 сумма цифр 3 + 7 + 2 = 12, поэтому число делится на 3. Точно:
372 ÷ 3 = 124. Для 4 проверяют число из двух последних цифр: 72 делится на 4,
значит и 372 делится.

Воспроизведите без подсказки

Закройте схему и постройте дерево множителей для 60 двумя способами. Оба раза
дойдите только до простых чисел и сравните концы. Затем назовите все пары сторон
прямоугольников площади 36.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик остановил разложение 72 = 8 × 9 и назвал 8 и 9 простыми множителями.
Оба числа составные. Нужно продолжить:
72 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3) = 2³ × 3². Проверка произведением возвращает 72.

Перенос в новую ситуацию

Две лампы мигают каждые 12 и 18 секунд. Одновременно они снова вспыхнут через
наименьшее общее кратное. Разложения 12 = 2² × 3 и 18 = 2 × 3² требуют взять
максимальное число каждого множителя: 2² × 3² = 36 секунд.

Задание

Обязательное. Выпишите делители 48 парами, разложите 48 и 180 на простые
множители, затем найдите их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Каждый ответ проверьте умножением или делением.

На своих данных. Возьмите два периода повторяющихся событий от 6 до 30 минут
и найдите, когда они совпадут. Объясните, почему нужен НОК, а не НОД.

По желанию. Докажите прямоугольниками, что простое число нельзя представить
произведением двух натуральных чисел, больших единицы.

Открытая перспектива

Десятичная запись продолжает разряды вправо от единиц. Следующий урок покажет,
что 0,1 — такая же разрядная единица, а конечная десятичная дробь является
обычной дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее.

Оглавление курса