Матрицы: таблица чисел, которая преобразует данные

Где мы на карте

Системы уравнений и геометрические векторы уже дали нам строки коэффициентов и столбцы координат. Матрица собирает эту структуру в один объект и позволяет выполнять преобразование по строгому правилу.

Сначала знакомый образ

Пульт с двумя входами и двумя индикаторами смешивает сигналы: первый индикатор берёт две доли первого сигнала и одну второго, а второй — одну долю первого и три второго. Таблица настроек пульта и есть матрица.

Точное значение

Матрица — прямоугольная таблица чисел. У матрицы размера m×n есть m строк и n столбцов. При умножении A·x каждая строка A образует скалярное произведение со столбцом x. Операция возможна, когда число столбцов A равно числу компонентов x. Матрица может кодировать систему уравнений, данные или линейное преобразование.

Перед вычислением назовите вход, выход и размер каждого объекта. Если числа описывают реальную ситуацию, подпишите единицы строк, столбцов и коэффициентов.

Держите рядом четыре представления: таблицу чисел, действие на конкретный вектор, геометрический рисунок и словесный смысл. Переходите между ними в обе стороны. Так вычисление перестаёт быть набором механических действий: неверный размер обнаруживается до счёта, а неверный результат — по геометрии или прямой подстановке.

Сначала предскажите направление или порядок ответа, затем считайте. После результата обязательно выполните прямую проверку: перемножьте обратно нужные объекты, соберите линейную комбинацию или подтвердите равенство Av=λv по компонентам.

Опорный сигнал урока

размеры → строка · столбец → один компонент → все строки → новый вектор → проверка смысла

Проговорите сигнал вслух и восстановите без страницы. Для каждой стрелки назовите условие, которое разрешает переход.

Разобранный пример

Пусть A=[[2,1],[1,3]], x=(4,2). Первая строка даёт 2·4+1·2=10, вторая — 1·4+3·2=10. Поэтому Ax=(10,10). Проверка размеров: (2×2)·(2×1)=(2×1).

Проверьте пример вторым представлением: размерами, системой уравнений, геометрией, сборкой из базиса или прямым умножением.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Для B=[[1,−1,2],[0,3,1]] и v=(2,1,4) сначала назовите размеры. Найдите Bv по строкам, затем объясните, почему результат имеет две компоненты.

Первый шаг выполните по подсказке, второй — после собственного прогноза, а завершение и проверку сделайте без образца.

Воспроизведите без подсказки

Закройте пример и восстановите правило умножения матрицы на столбец. Объясните, почему нельзя перемножать элементы только на одинаковых местах.

Добавьте контрпример, в котором нарушено одно условие, и объясните, где именно перестаёт работать правило.

Найдите и исправьте ошибку

Ошибка: для матрицы 2×3 и вектора из двух компонентов начать вычисление. Внутренние размеры 3 и 2 не совпадают; операция не определена, пока вход не содержит три компонента.

Исправление полно, когда названа причина, восстановлен верный шаг и показана независимая проверка.

Перенос в новую ситуацию

Составьте матрицу для пересчёта количества трёх товаров в общую стоимость и массу. Каждая строка должна отвечать за одну выходную величину; подпишите единицы коэффициентов.

Отделите точную линейную модель от реального объекта. Укажите, что именно считается постоянным и при каком изменении линейность перестанет быть разумным допущением.

Задание

Обязательное. Даны A=[[3,−1],[2,4]], u=(5,2) и v=(−1,3). Найдите Au, Av и A(u+v), затем проверьте равенство A(u+v)=Au+Av. Для каждого шага укажите размеры.

На своих данных. Придумайте небольшой пример той же структуры, подпишите входы и выходы, выполните вычисление и проверьте его другим способом.

По желанию. Через семь дней измените числа или базис и решите задачу без опорной схемы. Сравните рассуждение, а не только ответ.

Открытая перспектива

Чтобы понимать, какие входы можно собрать из выбранных направлений и единственно ли такое представление, нужны пространство, линейная независимость и базис.

Оглавление курса