Равные дроби: меняем размер долей, сохраняя количество

Где мы на карте

Чтобы сравнивать, складывать и превращать дроби в проценты, нужно уметь менять
их запись без изменения значения. Это не фокус с умножением двух чисел. Это
перерезание той же длины на более мелкие или более крупные равные доли.

Сначала знакомый образ

Половину метровой ленты можно назвать 1/2 метра. Если каждый полуметровый
отрезок разделить еще пополам, та же закрашенная длина займет две четверти:
2/4. Лента и закрашенная длина не изменились; изменился только размер единицы
счета.

Точное значение

Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число, значение
дроби сохранится:

a/b = (a × k)/(b × k), где k ≠ 0.

Почему? Каждый прежний кусок разбивается на k новых. Новых кусков становится
в k раз больше, но каждый в k раз меньше. Общая длина не меняется.

Обратное действие — сокращение. Если числитель и знаменатель делятся на одно и
то же ненулевое число, можно разделить оба. Сокращается запись, а не величина.

Опорный сигнал урока

×k сверху и снизу → долей больше → каждая меньше → точка та же

Для сокращения стрелки идут обратно: ÷k сверху и снизу.

Разобранный пример

Сократим 18/24.

1. Ищем общий делитель. И 18, и 24 делятся на 6.
2. Делим оба числа: 18 ÷ 6 = 3, 24 ÷ 6 = 4.
3. Получаем 18/24 = 3/4.
4. Проверяем обратным расширением: 3 × 6 = 18, 4 × 6 = 24.
5. Проверяем оценкой: обе дроби меньше 1 и больше 1/2. Противоречия нет.

Можно было сокращать поэтапно на 2, затем на 3. Результат тот же. Наибольший
общий делитель лишь делает путь короче.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Заполните пропуск: 5/8 = ?/40.

Знаменатель вырос с 8 до 40 в 5 раз. Чтобы доля сохранилась, числитель тоже
должен вырасти в 5 раз: 5 × 5 = 25. Ответ 25/40.

Теперь самостоятельно: ?/21 = 2/3. Сначала найдите, во сколько раз изменился
знаменатель. Не применяйте «крест»; объясните изменение размера долей.

Почему нельзя прибавить одно число

Ошибка 1/2 = 2/3 возникает, когда к числителю и знаменателю прибавляют 1.
Проверим смысл: половина ленты — 0,5 длины, две трети — примерно 0,67. Точка
сдвинулась. При умножении число долей растет одновременно с уменьшением их
размера; при прибавлении такой компенсации нет.

Воспроизведите без подсказки

1. Нарисуйте, почему 2/3 = 4/6.
2. Продолжите ряд 3/5 = 6/10 = ?/20.
3. Сократите 21/28 и проверьте обратным действием.
4. Объясните фразу «сокращается запись, а не число».

Найдите и исправьте ошибку

Мира сказала: 6/9 = 5/8, потому что вычла единицу сверху и снизу. Обе записи
выглядят похожими, но равенства нет. Исправьте дробь 6/9 законным общим
делением и подтвердите ответ рисунком или десятичным приближением.

Перенос в новую ситуацию

В рецепте 300 граммов муки и 200 граммов воды. Отношение воды ко всей смеси
пока равно 200/500. Сократите его. Затем удвойте рецепт и убедитесь, что
дробь воды во всей смеси не изменилась.

Задание

Обязательное. Докажите, что 14/21 и 10/15 обозначают одно число. Нужны
три свидетельства: сокращение обеих дробей, одна общая модель из равных долей и
проверка делением. Затем приведите дробь, похожую по записи, но не равную им, и
объясните различие.

На своих данных. Возьмите отношение двух количеств из дома, сократите его и
проверьте обратным расширением.

По желанию. Найдите все дроби со знаменателем не больше 20, равные 3/4.

Открытая перспектива

Равные дроби дают общий масштаб. В следующем уроке мы поставим две разные дроби
на одну числовую прямую и сравним их без ненадежных правил.

Оглавление курса