Количество и счет: число отвечает на вопрос «сколько»

Где мы на карте

Это первая опора маршрута «Числа и действия». Она нужна до письменных алгоритмов.
Если ученик пересчитывает один предмет дважды, пропускает предмет или думает,
что длиннее разложенный ряд обязательно содержит больше вещей, следующие правила
будут держаться на догадке.

Сначала знакомый образ

Представьте кассира, который выдает каждому посетителю один жетон. Пока каждому
человеку соответствует ровно один жетон, число людей и число выданных жетонов
одинаково. Так работает счет: мы связываем каждый предмет с одним числом в
последовательности 1, 2, 3, .... Последнее названное число сообщает количество
всего множества.

Положение предметов не меняет количества. Пять пуговиц, сдвинутые в кучку, и те
же пять пуговиц, разложенные вдоль стола, остаются пятью пуговицами. Изменился
вид, но ни одна пуговица не появилась и не исчезла.

Точное значение

Натуральное число описывает количество отдельных предметов или место в
порядке. В этом уроке нас интересует количество. Ноль означает, что в
рассматриваемом множестве нет ни одного предмета.

Нужно различать три вещи:

• количество — сколько предметов действительно есть;
• число — математическая идея этого количества;
• цифры — знаки, которыми число записано: число двенадцать записывается 12.

Считать можно по одному, но большие количества удобнее собирать в равные группы.
Запись 4 × 6 + 3 говорит: четыре полные группы по шесть и еще три предмета.
Это не меняет количество, а делает его видимым и проверяемым.

Опорный сигнал урока

один предмет ↔ одно число → последнее число = количество

Для быстрого счета добавьте вторую строку:

равные группы × размер группы + остаток

Разобранный пример

На складе стоят четыре полных ящика по шесть бутылок и рядом еще три бутылки.

1. Единица счета — одна бутылка.
2. В полных ящиках 4 × 6 = 24 бутылки.
3. Добавляем остаток: 24 + 3 = 27.
4. Проверка: если убрать три отдельные бутылки, должны остаться четыре одинаковые
   группы по шесть. Так и есть.

Итого: 4 × 6 + 3 = 27. Ответ: 27 бутылок. Число не зависит от того, стоят ли
ящики близко друг к другу.

Пример с уменьшающейся подсказкой

На рисунке пять рядов по восемь точек и еще две точки.

1. Полные ряды: 5 × ___ = ___.
2. Прибавьте две точки.
3. Назовите единицу счета.
4. Проверьте результат другим разбиением, например двумя группами по двадцать и
   остатком.

Получается 5 × 8 + 2 = 42. Если вы назвали только 42, вернитесь и проговорите,
что именно считали. Число без единицы легко применить не к той величине.

Сравнение количеств без пересчета

Иногда не нужно знать точное число. Поставьте чашки и блюдца парами. Если каждой
чашке досталось блюдце и одно блюдце осталось, блюдец больше. Это доказательство
через взаимно однозначное соответствие: мы сравнили множества парами, не считая
их.

Знаки читаются как целые фразы: 8 > 5 — восемь больше пяти; 3 < 7 — три
меньше семи; 6 = 6 — количества равны. Поверните широкий открытый край знака к
большему числу, но не заменяйте смысл этой подсказкой.

Воспроизведите без подсказки

Закройте карту и объясните вслух:

1. почему последнее число при честном счете сообщает количество;
2. почему расстояние между предметами не меняет количество;
3. как равные группы помогают проверить счет.

Нарисуйте 17 кружков так, чтобы количество было видно почти без пересчета.

Найдите и исправьте ошибку

Арман посчитал карандаши: 1, 2, 3, 4, 5, 6, но при этом указал на третий
карандаш два раза и пропустил последний. Он назвал правильное число случайно.
Нарушены сразу два условия: не каждому предмету сопоставлено число и одному
предмету сопоставлены два числа. Разложите карандаши в ряд или передвигайте
каждый уже посчитанный предмет в сторону.

Перенос в новую ситуацию

В темной комнате нельзя увидеть носки, но можно брать их по одному. Чтобы
гарантированно получить два носка одного цвета при наличии только черных и белых,
достаточно взять три. После первых двух цвета могут различаться; третий неизбежно
совпадет с одним из них. Здесь счет работает не с видимым рядом, а с числом
возможных групп.

Задание

Обязательное. Возьмите от 25 до 40 мелких предметов. Сначала оцените их
количество одним взглядом, затем посчитайте по одному и после этого сгруппируйте
по пять или по десять. Запишите три результата, способ проверки и причину
возможного расхождения.

На своих данных. Сравните два множества попарно, не называя их точного
количества. Опишите, как остаток доказал, какое множество больше.

По желанию. Придумайте расположение 24 точек, в котором число видно быстро,
и неудобное расположение тех же 24 точек. Объясните, что изменилось, а что нет.

Открытая перспектива

Следующий урок покажет, как десять единиц становятся одним десятком и почему
место цифры меняет ее значение. Это позволит записывать любое большое число без
нового знака для каждого количества.

Оглавление курса