Контрольная точка: алгебра и функции

Что проверяет эта работа

Алгебра освоена, когда формула остаётся связанной с величинами, графиком и
проверкой. Нужно различать виды изменения, выбирать представление и возвращать
ответ в исходную ситуацию.

Первый проход считается освоенным при результате 8 из 10, если решена хотя
бы одна задача 9–10 на ошибку или перенос. Через семь дней выполните новый
вариант: цель — 7 из 10 без перечитывания уроков перед проверкой.

Как работать

Отведите 60–75 минут. Сначала запишите модель и оценку, затем вычисляйте.
Калькулятор допустим после выбора способа. Для каждой задачи отметьте уверенность
от 0 до 2 и способ проверки.

Задачи 1–3: функция и система

1. Для y = −2x + 6 назовите наклон и пересечение с осью y, составьте таблицу
   из трёх точек и найдите пересечение с осью x.
2. Тариф равен 800 тенге плюс 140 тенге за единицу. Составьте функцию, укажите
   область определения для целого количества и найдите обратным уравнением
   количество при общей цене 3600 тенге.
3. Решите систему x + y = 11, 3x + y = 19 точным способом и объясните
   решение как пересечение двух прямых.

Задачи 4–6: степени, многочлены и парабола

4. Упростите (2³ × 2⁵)/2⁴, объясняя каждый шаг множителями. Затем найдите все
   решения x² = 64 и отдельно значение √64.
5. Раскройте (3x − 2)(x + 5), приведите к стандартному виду и проверьте при
   x = −1.
6. Для y = x² − 8x + 12 найдите корни, вершину, ось симметрии и направление
   ветвей. Запишите функцию в трёх формах.

Задачи 7–8: рост и последовательность

7. Определите тип каждой таблицы: 10, 14, 18, 22 и 10, 14, 19,6, 27,44.
   Найдите правило следующего шага и объясните постоянную величину.
8. В арифметической последовательности a₁ = 7, d = 4. Найдите a₂₅ и
   сумму первых 25 членов. Проверьте формулу на первых трёх членах.

Задачи 9–10: ошибка и перенос

9. Ученик записал (x − 4)² = x² + 16, а из x² = 16 получил только x = 4.
   Найдите две независимые ошибки, исправьте их и подтвердите подстановкой.
10. Два плана накопления начинаются с 100 000 тенге. План A добавляет по 20 000
    ежегодно. План B ежегодно умножает текущую сумму на 1,15. Составьте две
    модели, сравните их через 3 и 10 лет и объясните, почему один график прямой,
    а другой нет. Комиссии и налоги не учитывайте.

Самопроверка способа

• величины и единицы названы;
• вид изменения выбран по разности или отношению;
• алгебраические преобразования сохраняют значение;
• графические свойства совпадают с формулой;
• ответ проверен в исходной записи и истолкован.

Если ошибка возникла в квадратной функции, проверьте сначала раскрытие скобок и
степени. Если перепутаны модели роста, вернитесь к таблице разностей и отношений.

Карта возврата

• задачи 1–2: линейная функция;
• задача 3: системы;
• задача 4: степени и корни;
• задачи 5 и 9: многочлены;
• задача 6: квадратичная функция;
• задачи 7 и 10: показательный рост;
• задача 8: последовательности и суммы.

После повторения решите новую задачу того же строения с другими числами.

Задание

Обязательное. Отправьте все десять решений, уверенность 0–2 и проверки.
В задачах 7, 9 и 10 требуется объяснение; один числовой ответ не засчитывается.

На своих данных. Измените параметры задач 2, 6 и 10, сохранив тип модели, и
решите новые версии.

По желанию. Через семь дней выполните отсроченный вариант, где другой
человек заменит числа и порядок задач.

Что дальше

Алгебра дала язык зависимостей. Следующий раздел построит геометрию как систему
точных определений и доказательств: от точек, прямых и углов до подобия,
окружностей, тригонометрии и векторов.

Оглавление курса