Подобие и масштаб: одна форма при разных размерах

Где мы на карте

Равенство требовало одинакового размера. Теперь разрешаем фигуре увеличиться или уменьшиться, сохраняя углы и отношения соответствующих длин.

Сначала знакомый образ

Фотография на экране и тот же снимок на плакате имеют разный размер, но одинаковую форму, если ширина и высота умножены на один коэффициент.

Точное значение

Подобные фигуры имеют равные соответствующие углы и пропорциональные стороны. При коэффициенте k длины умножаются на k, площади на k², объёмы на k³.

Важно всякий раз назвать единицы, соответствующие элементы и условие применимости. Рисунок помогает думать, но доказательством становится только цепочка утверждений, где для каждого шага указана причина.

Сделайте три представления одной ситуации: аккуратный чертёж с обозначениями,
словесное описание связи и вычислительную запись. Если они противоречат друг
другу, остановитесь до вычислений и исправьте модель. Полезная привычка —
сначала предсказать, должен ли ответ быть больше или меньше известных величин,
а после решения проверить его измерением либо независимым свойством фигуры.

Опорный сигнал урока

соответствующие вершины → равные углы → единый коэффициент k → длины k, площади k², объёмы k³

Проговорите сигнал вслух и восстановите его без страницы. Затем свяжите каждый переход с определением или уже доказанным свойством.

Разобранный пример

Треугольники со сторонами 3,4,5 и 6,8,10 подобны: 6/3=8/4=10/5=2. Периметр удвоен, площадь увеличена в 4 раза.

После вычисления проверяем знак, порядок величины, единицу и геометрический смысл. Если возможно, используем второй способ: измерение, обратную теорему, координаты или разбиение фигуры.

Пример с уменьшающейся подсказкой

На карте 2 см соответствуют 15 км. Найдите расстояние для 7,2 см, сначала вычислив цену одного сантиметра.

Сначала сделайте чертёж и отметьте известное. Формулу выбирайте только после того, как назвали объекты и связь между ними. Последний шаг выполните без подсказки и объясните словами.

Воспроизведите без подсказки

Без подсказки объясните, почему удвоение сторон не удваивает площадь. Нарисуйте квадрат 1×1 и 2×2.

Дополнительно ответьте: что было дано, что требовалось доказать или найти, почему выбранное свойство применимо и как обнаружить неправдоподобный ответ.

Найдите и исправьте ошибку

Ошибка: сравнить несоответствующие стороны 6/4 и 8/3. Сначала нужно установить порядок вершин и проверить один коэффициент для всех пар.

Исправление считается полным, если названа причина ошибки, записан верный шаг и показана проверка. Простая замена числа без объяснения не восстанавливает способ.

Перенос в новую ситуацию

Измерьте длину тени вертикального предмета и свою тень в один момент. Через подобные треугольники оцените высоту предмета и назовите допущения.

Укажите точность исходных измерений. Реальный объект отличается от идеальной модели толщиной линий, неровностью поверхности и погрешностью инструмента; это нужно учитывать в выводе.

Задание

Обязательное. Модель здания имеет масштаб 1:50. Дверь модели 4,2 см. Найдите реальную высоту; затем определите, во сколько раз отличаются площади одинаковых фасадных деталей.

На своих данных. Найдите бытовой или технический объект той же структуры. Сделайте схему, измерьте нужные величины, выполните расчёт и отделите точный математический вывод от приближённого измерения.

По желанию. Через семь дней замените числа и положение рисунка, затем решите без опорной схемы. Сравните не только ответы, но и основания шагов.

Открытая перспектива

Площадь и объём требуют понять, почему формулы считают единичные квадраты и кубы, а не просто подставляют числа.

Оглавление курса