Квадратичная функция: корни, вершина и одна парабола

Где мы на карте

Линейная функция меняется с постоянной скоростью и даёт прямую. В квадратной
функции скорость изменения сама меняется. Её график — парабола, а разные формы
одной формулы открывают разные свойства.

Сначала знакомый образ

Мяч, брошенный вверх, сначала поднимается, замедляется, достигает высшей точки и
падает. Упрощённая зависимость высоты от времени содержит квадрат времени. Такой
график изгибается и имеет вершину.

Мы разберём функцию y = x² − 4x + 3. Её можно записать ещё двумя способами:
y = (x − 1)(x − 3) и y = (x − 2)² − 1.

Три формы — три окна

• Стандартная форма ax² + bx + c показывает коэффициенты и пересечение с осью
  y: при x = 0 получаем c.
• Разложение a(x − x₁)(x − x₂) показывает корни x₁ и x₂.
• Вершинная форма a(x − h)² + k показывает вершину (h; k).

Коэффициент a задаёт направление ветвей. При a > 0 парабола открыта вверх,
при a < 0 — вниз.

Опорный сигнал урока

стандартный вид ↔ множители ↔ вершина → точки → парабола → проверка

Все формы должны давать одинаковое значение при одном и том же x.

Разобранный пример

Исследуем y = x² − 4x + 3.

1. Ищем два числа с произведением 3 и суммой −4: это −1 и −3.
2. Получаем y = (x − 1)(x − 3).
3. Нули: x = 1 и x = 3.
4. Выделяем квадрат: x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1.
5. Вершина (2; −1), ось симметрии x = 2.
6. При x = 0 имеем y = 3; симметричная точка при x = 4 тоже имеет
   y = 3.

Эти пять точек задают одну параболу, а раскрытие обеих форм возвращает исходный
многочлен.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Для y = x² + 2x − 3 найдите числа с произведением −3 и суммой 2. Запишите
множители и корни. Затем выделите квадрат, найдите вершину и проверьте обе формы
при x = 2.

Дискриминант и число корней

Не каждый трёхчлен легко раскладывается целыми числами. Для
ax² + bx + c = 0 дискриминант D = b² − 4ac сообщает число действительных
корней: при D > 0 их два, при D = 0 один повторяющийся, при D < 0
действительных корней нет. Формула корней
x = (−b ± √D)/(2a) требует a ≠ 0.

Графически это два пересечения с осью x, касание или отсутствие пересечений.

Воспроизведите без подсказки

Для каждой из трёх форм объясните, какое свойство видно сразу. Исследуйте
y = (x + 2)(x − 4): найдите корни, ось симметрии как середину между ними и
значение в этой точке.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик решил, что из (x − 1)(x − 3) = 0 следует x = −1 или x = −3.
Но множитель x − 1 равен нулю при x = 1. Проверка в исходной функции
подтверждает 1 − 4 + 3 = 0.

Другая ошибка — назвать вершиной (−2; −1) для (x − 2)² − 1. Квадрат
минимален при x − 2 = 0, то есть при x = 2.

Перенос в новую ситуацию

Прямоугольный участок имеет периметр 20 м. Если одна сторона x, другая
10 − x, площадь A = x(10 − x) = −x² + 10x. Парабола открыта вниз, вершина
соответствует наибольшей площади. Найдите вершину и объясните, почему допустимы
только значения 0 < x < 10.

Задание

Обязательное. Для y = x² − 6x + 8 найдите стандартную, разложенную и
вершинную формы, корни, вершину, ось симметрии и пять точек графика. Проверьте
равенство форм при двух значениях x. Затем определите число корней у
x² + 2x + 5 = 0 по дискриминанту.

На своих данных. Составьте задачу о площади с фиксированной суммой сторон,
запишите квадратичную функцию и найдите разумный максимум.

По желанию. Исследуйте, как добавление числа к функции сдвигает параболу
вверх или вниз, а замена x на x − h — вправо или влево.

Открытая перспектива

Степень переменной создаёт параболу. Следующий урок поместит переменную в
показатель и покажет рост, который умножается за одинаковые промежутки.

Оглавление курса