Последовательности и ряды: правило шага и накопленная сумма

Где мы на карте

Функция может быть задана для непрерывного промежутка, а последовательность
перечисляет значения по номерам: первый член, второй, третий. Она показывает
процесс шаг за шагом. Сумма членов называется рядом или частичной суммой.

Сначала знакомый образ

В первом ряду зала 5 мест, а в каждом следующем на 3 места больше. Получаем
5, 8, 11, 14, .... Это арифметическая последовательность: соседние члены
имеют постоянную разность d = 3.

Если начать с 2 и каждый раз умножать на 3, получится 2, 6, 18, 54, ....
Это геометрическая последовательность с постоянным отношением q = 3.

Номер не равен значению

Запись aₙ означает значение члена с номером n. В арифметической
последовательности от первого члена до n-го сделано n − 1 шагов, поэтому
aₙ = a₁ + d(n − 1).

Для геометрической последовательности каждый шаг умножает значение на q:
bₙ = b₁qⁿ⁻¹.

Опорный сигнал урока

первые члены → разность или отношение → число шагов n−1 → формула aₙ → проверка

Для суммы:
что складываем → сколько членов → удобная пара или множитель → проверка малым n.

Разобранный пример

Для 5, 8, 11, 14, ... найдём десятый член.

1. Первый член a₁ = 5, разность d = 3.
2. До десятого члена девять переходов.
3. a₁₀ = 5 + 3(10 − 1) = 5 + 27 = 32.
4. Проверка рекурсией: добавляя 3 девять раз, тоже получаем 32.

Сумма первых десяти членов:
S₁₀ = 10(a₁ + a₁₀)/2 = 10(5 + 32)/2 = 185.
Формула возникает из пар: первый плюс последний, второй плюс предпоследний —
каждая пара имеет одинаковую сумму.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Для 2, 6, 18, 54, ... найдите b₆. Определите первый член, множитель и число
переходов. Затем вычислите сумму первых четырёх членов напрямую и сравните с
формулой Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1.

Явная и рекурсивная записи

Явная формула сразу даёт член по номеру. Рекурсивная говорит, как получить
следующий из предыдущего: a₁ = 5, aₙ = aₙ₋₁ + 3. Рекурсия показывает
механизм, явная запись экономит шаги. Обе должны описывать одну
последовательность.

Не всякая последовательность арифметическая или геометрическая. У квадратов
1, 4, 9, 16, ... меняются и разности, и отношения, но есть правило aₙ = n².

Воспроизведите без подсказки

Объясните, почему в формулах стоит n − 1. Для последовательностей
7, 12, 17, ... и 81, 27, 9, ... определите тип, параметр шага и пятый член.
Запишите каждую явно и рекурсивно.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик для a₁ = 5, d = 3 написал a₁₀ = 5 + 3 × 10 = 35. Он посчитал
десять переходов, хотя от первого до десятого их девять. Проверка первых двух
членов выявляет ошибку: формула с n дала бы при n = 1 число 8 вместо 5.

Другая ошибка — искать постоянную разность у удваивающейся последовательности.
У неё сохраняется отношение, а разности растут.

Перенос в новую ситуацию

Человек откладывает в первый месяц 10 000 тенге и каждый следующий месяц на
2000 больше. Ежемесячные взносы образуют арифметическую последовательность, а
накопленная сумма — частичную сумму. Найдите взнос двенадцатого месяца и сумму
за год, не учитывая проценты.

Задание

Обязательное. Для арифметической последовательности 4, 9, 14, ... найдите
формулу, двадцатый член и сумму первых двадцати. Для геометрической
3, 6, 12, ... найдите восьмой член и сумму первых восьми. Проверьте формулы на
первых трёх значениях.

На своих данных. Опишите регулярное накопление, тренировочный план или ряды
мест последовательностью. Назовите единицы и ограничения.

По желанию. Исследуйте сумму 1 + 1/2 + 1/4 + ... на первых десяти шагах.
Предскажите границу и объясните её через оставшийся до 2 промежуток.

Открытая перспектива

Мы прошли прямые, системы, степени, многочлены, параболы, показательный рост и
последовательности. Следующая контрольная точка проверит, умеем ли мы выбирать
модель по характеру изменения, а не по знакомому внешнему виду формулы.

Оглавление курса