Выражения: как упростить запись, не изменив её значение

Где мы на карте

Переменная хранит место для числа. Выражение соединяет числа, переменные и
действия в точный план вычисления. Сейчас мы учимся менять внешний вид этого
плана, сохраняя его значение для каждого допустимого числа.

Сначала знакомый образ

На складе стоят три одинаковые коробки. В каждой лежат два пакета по x
деталей и ещё 5 отдельных деталей. Затем 4 пакета по x деталей забрали.
Количество записывается 3(2x + 5) − 4x.

Можно сначала узнать содержимое каждой коробки, умножить на три и вычесть
забранное. Можно рассуждать по видам предметов: было 6x деталей в пакетах и
15 отдельных, после выдачи осталось 2x + 15. Оба пути описывают один склад,
поэтому 3(2x + 5) − 4x = 2x + 15.

Из чего состоит выражение

Слагаемые разделяются знаками плюс и минус верхнего уровня. В 2x + 15 два
слагаемых: 2x и 15. Число 2 перед x называют коэффициентом: оно показывает,
сколько одинаковых x складывают. В произведении 3(2x + 5) множителями служат
3 и вся сумма в скобках.

Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть. 6x и −4x подобны,
потому что оба измеряют количество групп размера x. 6x и 6x² не подобны:
при изменении x они растут по-разному.

Опорный сигнал урока

структура → скобки → подобные части → новый вид → подстановка в оба вида

Равенство преобразованных выражений должно работать не для одного удачного
числа, а для каждого допустимого значения переменной.

Разобранный пример

Упростим 3(2x + 5) − 4x.

1. Умножаем 3 на каждое слагаемое в скобках:
   3 × 2x + 3 × 5 − 4x.
2. Получаем 6x + 15 − 4x.
3. Собираем подобные слагаемые: 6x − 4x = 2x.
4. Итог: 2x + 15.
5. Проверяем при x = 4. Исходный вид:
   3(2 × 4 + 5) − 4 × 4 = 3 × 13 − 16 = 23.
6. Новый вид: 2 × 4 + 15 = 23.

Совпадение при одном числе ещё не является полным доказательством, но быстро
обнаруживает многие ошибки. Смысл распределительного закона объясняет, почему
шаг работает всегда: три одинаковые коробки содержат втрое больше каждой части.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Упростите 5(y − 2) + 3y + 4.

Сначала распределите множитель 5 на оба слагаемых. Обратите внимание: внутри
скобок стоит −2, поэтому после умножения получится отрицательное число. Затем
соедините части с y и отдельно постоянные числа. Проверьте исходный и новый
виды при y = 3, а затем при y = −1. Вторая подстановка хорошо выявляет
потерянный знак.

Почему порядок и скобки важны

Записи 2(x + 3) и 2x + 3 различны. При x = 4 первая даёт 14, вторая 11.
Скобки говорят, что удваивается вся сумма. Удалить их можно только после
распределения множителя на каждый член: 2(x + 3) = 2x + 6.

Также различаются −(x − 5) и −x − 5. Множитель перед скобками равен −1,
поэтому меняются знаки обеих частей: −(x − 5) = −x + 5.

Воспроизведите без подсказки

Объясните своими словами коэффициент, подобные слагаемые и распределительный
закон. Не вычисляя полностью, скажите, равны ли 4(a + 2) и 4a + 8, а также
7 − (b + 1) и 6 − b. Подтвердите каждое решение подстановкой двух чисел.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик записал 2(3x + 4) = 6x + 4. Он умножил на 2 только первое слагаемое.
Коробочный образ показывает потерю: если коробок две, вдвое больше становится и
число пакетов, и число отдельных предметов. Правильно 6x + 8.

Другой ученик решил, что 3x + 2 = 5x. Эти слагаемые не подобны: 3x зависит
от x, а 2 остаётся постоянным. При x = 10 исходный вид равен 32, а 5x — 50.

Перенос в новую ситуацию

Периметр прямоугольника со сторонами x + 2 и 2x − 1 равен
2(x + 2) + 2(2x − 1). Упростите выражение и проверьте его на рисунке для
x = 3. Затем определите допустимые значения x: обе длины должны быть
положительными. Здесь преобразование помогает увидеть, как быстро растёт
периметр, но геометрический смысл контролирует допустимость.

Задание

Обязательное. Упростите 4(2a + 3) − 5a, 7 − 2(3 − b) и
3(m + 4) + 2(m − 1). Для каждого выражения покажите раскрытие скобок,
объединение подобных слагаемых и проверку исходного и итогового вида при одном
положительном и одном отрицательном значении.

На своих данных. Составьте выражение для покупки нескольких одинаковых
наборов с общей скидкой или доплатой. Упростите его двумя рассуждениями и
объясните, что означает каждый коэффициент.

По желанию. Найдите такое ошибочное правило раскрытия скобок, которое
случайно проходит проверку при x = 0, но ломается при другом числе. Объясните,
почему для проверки полезно брать несколько разных значений.

Открытая перспектива

Эквивалентные выражения дают одинаковое значение. В следующем уроке мы поставим
между выражениями знак равенства и будем сохранять равновесие, чтобы найти
неизвестное число.

Оглавление курса