Линейная функция: постоянное изменение становится прямой

Где мы на карте

Мы уже умеем задавать величины буквами, решать уравнения и отмечать точки по
координатам. Теперь соберём эти опоры. Функция — правило, которое каждому
допустимому значению x ставит в соответствие ровно одно значение y.
Линейная функция описывает постоянную скорость изменения.

Сначала знакомый образ

В баке уже есть 1 литр воды, после чего каждую минуту добавляют ещё 2 литра.
Через x минут объём равен y = 2x + 1. Число 1 показывает начало, а 2 —
изменение за одну минуту. Если время выросло на минуту, объём всегда возрастает
на 2 литра.

Три представления говорят об одном правиле:

• формула позволяет вычислить значение;
• таблица хранит отдельные пары (x; y);
• график показывает все пары как точки одной прямой.

Что означают коэффициенты

Общий вид линейной функции — y = kx + b. Коэффициент k показывает, на
сколько меняется y, когда x увеличивается на единицу. Число b — значение
y при x = 0, поэтому график пересекает вертикальную ось в точке (0; b).

Если k > 0, прямая поднимается слева направо. Если k < 0, она опускается.
При k = 0 значение не меняется и прямая горизонтальна.

Опорный сигнал урока

смысл величин → y = kx + b → старт b → шаг k → точки → прямая → проверка

Наклон нельзя читать только по внешнему виду: масштабы осей могут различаться.
Вычисляйте k = изменение y / изменение x по координатам двух точек.

Разобранный пример

Построим y = 2x + 1.

1. При x = −1: y = 2 × (−1) + 1 = −1.
2. При x = 0: y = 1.
3. При x = 2: y = 5.
4. Получаем точки (−1; −1), (0; 1) и (2; 5).
5. Они лежат на одной прямой. От (0; 1) до (2; 5) значение x выросло на
   2, а y — на 4, поэтому k = 4/2 = 2.
6. Подстановка координат любой построенной точки возвращает верное равенство.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Такси берёт 600 тенге за посадку и 150 тенге за километр. Введите x для
расстояния и y для цены. Найдите k и b, составьте формулу, постройте точки
для 0, 2 и 5 км. Объясните, почему график не проходит через начало координат.
Затем определите, какое расстояние соответствует цене 1800 тенге.

Область определения и область значений

Чистая формула y = 2x + 1 допускает любые действительные x. Жизненный сюжет
может сузить область: время после начала наполнения неотрицательно, вместимость
бака ограничена. На графике такой модели нужна только соответствующая часть
прямой. Математическое правило и применяемая модель связаны, но их границы нужно
называть отдельно.

Воспроизведите без подсказки

Объясните роли k и b. По правилу y = −3x + 4 найдите точку пересечения с
осью y, направление прямой и изменение y при увеличении x на 2. Постройте
три точки и проверьте их подстановкой.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик решил, что в y = 2x + 1 число 2 — точка пересечения с осью y.
Проверка x = 0 даёт y = 1, значит пересечение — (0; 1). Число 2 задаёт
изменение: шаг на единицу вправо сопровождается двумя единицами вверх.

Другая ошибка — соединить точки ломаной. Постоянный коэффициент означает одно
направление на всём допустимом промежутке, поэтому график является прямой.

Перенос в новую ситуацию

Температура напитка снижается примерно на 4 градуса в минуту и в начале равна
84 °C. Модель T = 84 − 4t линейна на ограниченном промежутке. Назовите
коэффициенты, найдите температуру через 6 минут и время достижения 40 °C.
Объясните, почему продолжать прямую до отрицательной бесконечности физически
нельзя.

Задание

Обязательное. Для функций y = 3x − 2, y = −x + 5 и y = 4 составьте
таблицы по трём значениям x, постройте графики, назовите k, b и направление.
Для первой функции найдите x, когда y = 13, и проверьте точку подстановкой.

На своих данных. Найдите тариф с постоянной и переменной частью. Запишите
единицы, формулу, три пары значений и разумную область определения.

По желанию. Постройте на одной плоскости y = 2x + 1 и y = 2x − 3.
Объясните, почему прямые не пересекаются и какую роль играет одинаковый k.

Открытая перспектива

Одна прямая описывает одно правило. Следующий урок рассмотрит две связи
одновременно: их общая точка станет решением системы уравнений.

Оглавление курса