Тригонометрия: угол как отношение сторон

Где мы на карте

Подобные прямоугольные треугольники с одним острым углом имеют одинаковые отношения сторон. Поэтому угол можно кодировать не длиной, а отношением.

Сначала знакомый образ

Наклон дороги 10% означает отношение подъёма к горизонтальному пути, близкое к тангенсу угла. Один и тот же угол сохраняет это отношение при любом размере рисунка.

Точное значение

Для угла α: sin=противолежащий/гипотенуза, cos=прилежащий/гипотенуза, tan=противолежащий/прилежащий.

Важно всякий раз назвать единицы, соответствующие элементы и условие применимости. Рисунок помогает думать, но доказательством становится только цепочка утверждений, где для каждого шага указана причина.

Сделайте три представления одной ситуации: аккуратный чертёж с обозначениями,
словесное описание связи и вычислительную запись. Если они противоречат друг
другу, остановитесь до вычислений и исправьте модель. Полезная привычка —
сначала предсказать, должен ли ответ быть больше или меньше известных величин,
а после решения проверить его измерением либо независимым свойством фигуры.

Опорный сигнал урока

отметить угол → назвать стороны относительно него → выбрать отношение с известным и искомым → уравнение → оценка

Проговорите сигнал вслух и восстановите его без страницы. Затем свяжите каждый переход с определением или уже доказанным свойством.

Разобранный пример

В треугольнике 3–4–5 для угла напротив стороны 3: sin α=3/5, cos α=4/5, tan α=3/4; проверка sin²α+cos²α=1.

После вычисления проверяем знак, порядок величины, единицу и геометрический смысл. Если возможно, используем второй способ: измерение, обратную теорему, координаты или разбиение фигуры.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Гипотенуза 10 м, угол у земли 30°. Высота 10 sin30°=5 м. Сначала назовите искомую сторону относительно угла.

Сначала сделайте чертёж и отметьте известное. Формулу выбирайте только после того, как назвали объекты и связь между ними. Последний шаг выполните без подсказки и объясните словами.

Воспроизведите без подсказки

Закройте формулы и восстановите SOH–CAH–TOA смыслом сторон, затем объясните, почему синус острого угла меньше 1.

Дополнительно ответьте: что было дано, что требовалось доказать или найти, почему выбранное свойство применимо и как обнаружить неправдоподобный ответ.

Найдите и исправьте ошибку

Ошибка: прилежащей стороной назвать гипотенузу. В определениях тригонометрии «прилежащий катет» не включает гипотенузу.

Исправление считается полным, если названа причина ошибки, записан верный шаг и показана проверка. Простая замена числа без объяснения не восстанавливает способ.

Перенос в новую ситуацию

Оцените высоту дерева по расстоянию до него и углу возвышения. Добавьте высоту глаз и назовите источники погрешности.

Укажите точность исходных измерений. Реальный объект отличается от идеальной модели толщиной линий, неровностью поверхности и погрешностью инструмента; это нужно учитывать в выводе.

Задание

Обязательное. Лестница 8 м образует со стеной угол 25°. Найдите высоту и расстояние основания до стены; проверьте теоремой Пифагора.

На своих данных. Найдите бытовой или технический объект той же структуры. Сделайте схему, измерьте нужные величины, выполните расчёт и отделите точный математический вывод от приближённого измерения.

По желанию. Через семь дней замените числа и положение рисунка, затем решите без опорной схемы. Сравните не только ответы, но и основания шагов.

Открытая перспектива

Векторы объединят длину и направление и позволят складывать перемещения в плоскости и пространстве.

Оглавление курса