Координаты: точный адрес точки на плоскости

Где мы на карте

Отрицательные числа дали направление на одной прямой. Координатная плоскость
добавляет второе независимое направление. Теперь положение описывается парой
чисел, а зависимость между величинами можно будет увидеть как линию или кривую.

Сначала знакомый образ

В кинотеатре место находят по ряду и номеру кресла. Одного числа недостаточно:
кресло 8 существует во многих рядах. На плоскости точка тоже получает два
указания. В паре (x; y) сначала читают горизонтальное положение x, затем
вертикальное y.

Начало координат O(0; 0) похоже на точку встречи двух улиц. Ось x идёт
вправо и влево, ось y — вверх и вниз. Точка A(−3; 2) находится на три
единицы левее нуля и на две выше. Порядок менять нельзя: A(−3; 2) и
A(2; −3) — разные адреса.

Четыре области и оси

Оси делят плоскость на четыре четверти. Знаки координат помогают проверить
положение:

• I четверть: x > 0, y > 0;
• II четверть: x < 0, y > 0;
• III четверть: x < 0, y < 0;
• IV четверть: x > 0, y < 0.

Точка на оси не принадлежит ни одной четверти. На оси x её координата y
равна нулю, а на оси y нулю равен x.

Опорный сигнал урока

начало O → сначала x по горизонтали → затем y по вертикали → точка → проверка знаков

Для чтения точки проведите мысленные перпендикуляры к осям. Для построения
двигайтесь от нуля, не от края рисунка.

Разобранный пример

Даны A(−3; 2) и B(4; 2).

1. У обеих точек y = 2, значит они лежат на одной горизонтальной линии.
2. От x = −3 до нуля три единицы, от нуля до x = 4 ещё четыре.
3. Горизонтальное расстояние равно 3 + 4 = 7 единиц.
4. То же вычисление записывается |4 − (−3)| = |7| = 7.
5. Проверка по клеткам на рисунке даёт семь одинаковых отрезков.

Модуль нужен, потому что расстояние не бывает отрицательным. Если переставить
точки, получим |−3 − 4| = |−7| = 7.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Постройте C(−2; −4) и D(−2; 3). Какая координата совпадает? Поэтому линия
между точками горизонтальная или вертикальная? Найдите расстояние, разбив путь
у нуля, а затем проверьте модулем разности соответствующих координат.

После этого отразите точку D относительно оси x. Горизонтальная координата
сохранится, а вертикальная поменяет знак. Назовите новый адрес до построения.

Масштаб на осях

Одна клетка не обязана означать единицу. На графике температуры клетка может
соответствовать 5 градусам, а на графике времени — 10 минутам. Перед чтением
точки найдите подписи делений обеих осей. Масштабы x и y могут различаться,
поэтому внешний наклон линии сам по себе ещё не сообщает численную скорость
изменения.

Воспроизведите без подсказки

Нарисуйте оси и расставьте P(3; −2), Q(−4; 1), R(0; 5) и S(−2; 0).
Для каждой точки назовите четверть или ось. Объясните, почему пара (3; −2)
содержит порядок, а обычное множество из двух чисел его не передаёт.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик построил K(−4; 3), пройдя три клетки влево и четыре вверх. Он поменял
координаты местами и потерял знак. Правильный маршрут: от нуля четыре единицы
влево по x, затем три вверх параллельно y.

Другой ученик назвал расстояние между A(−3; 2) и B(4; 2) равным
4 − 3 = 1. Он использовал расстояния до нуля без учёта разных сторон.
Координата первой точки равна минус трём, поэтому 4 − (−3) = 7.

Перенос в новую ситуацию

Робот начинает в точке (1; −2), движется на 5 единиц влево и на 4 вверх.
Горизонтальное движение меняет только x: 1 − 5 = −4. Вертикальное меняет
только y: −2 + 4 = 2. Конечная точка (-4; 2). Составьте обратный маршрут
и убедитесь, что робот возвращается в начало.

Задание

Обязательное. На одной системе координат постройте A(−3; 2), B(4; 2),
C(4; −3) и D(−3; −3). Соедините их по порядку, найдите длины сторон и
периметр, назовите четверти. Затем отразите фигуру относительно оси y и
запишите четыре новых адреса.

На своих данных. Нарисуйте схему комнаты или квартала, выберите начало и
единицу масштаба. Дайте координаты пяти объектам и опишите один маршрут только
изменениями x и y.

По желанию. Исследуйте все точки, у которых x = 2, а затем все точки с
y = −1. Объясните, почему получаются прямые и как они расположены относительно
осей.

Открытая перспектива

Координатная прямая и плоскость показывают не только точные значения, но и целые
области допустимых значений. Следующий урок научит изображать такие области для
неравенств.

Оглавление курса