Многочлены: собираем выражение по степеням

Где мы на карте

Мы умеем раскрывать скобки и работать со степенями. Многочлен объединяет эти
навыки: это сумма одночленов с целыми неотрицательными степенями переменной.
Например, 2x² − 5x − 12 состоит из трёх членов.

Сначала знакомый образ

Прямоугольник имеет стороны 2x + 3 и x − 4. Его формальная площадь равна
произведению (2x + 3)(x − 4). Разобьём стороны на части: каждая часть первой
стороны умножается на каждую часть второй. Получаются четыре области:
2x², −8x, 3x и −12.

Собираем подобные части: −8x + 3x = −5x. Поэтому
(2x + 3)(x − 4) = 2x² − 5x − 12.

Словарь структуры

Одночлен −5x³ имеет коэффициент −5 и степень 3. Степень многочлена —
наибольшая степень переменной с ненулевым коэффициентом. В стандартном виде
члены записывают по убыванию степеней.

Подобными являются только члены с одинаковой буквенной частью и степенью.
3x² и −7x² можно объединить, а 3x² и 3x — нельзя.

Опорный сигнал урока

члены → степени → одинаковые степени → коэффициенты → стандартный вид → подстановка

При умножении:
каждый член первой скобки × каждый член второй → собрать подобные.

Разобранный пример

Раскроем (2x + 3)(x − 4).

1. 2x × x = 2x².
2. 2x × (−4) = −8x.
3. 3 × x = 3x.
4. 3 × (−4) = −12.
5. Складываем: 2x² − 8x + 3x − 12 = 2x² − 5x − 12.
6. Проверяем при x = 5: исходный вид 13 × 1 = 13; новый вид
   2 × 25 − 25 − 12 = 13.

Геометрический образ помогает распределить множители, но отрицательные длины
не имеют физического смысла. Алгебраическое равенство при этом работает для
всех чисел x.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Сложите (3x² − 2x + 7) + (−x² + 5x − 4). Расположите члены одинаковых
степеней столбцами и сложите коэффициенты. Затем вычтите второй многочлен из
первого: перед раскрытием скобок учтите множитель −1. Проверьте оба результата
при x = 2.

Формулы как сжатая структура

Из прямоугольной модели следуют полезные равенства:
(a + b)² = a² + 2ab + b² и (a − b)(a + b) = a² − b².
Это не заклинания. Первое произведение содержит четыре части, две средние равны
ab, поэтому вместе дают 2ab.

Воспроизведите без подсказки

Назовите степень и коэффициенты 4x³ − x + 9. Объясните, почему отсутствующий
член x² можно считать имеющим коэффициент 0. Раскройте (x + 2)(x + 5) и
проверьте подстановкой.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик получил (x + 3)² = x² + 9, потеряв два произведения 3x. Полная запись:
(x + 3)(x + 3) = x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9.

Другая ошибка: 2x² + 3x = 5x³. Сложение не меняет степень, а разные степени
не являются подобными. Подстановка x = 2 даёт 14 слева и 40 справа.

Перенос в новую ситуацию

Стороны прямоугольника увеличили: длина стала x + 3, ширина x + 1.
Площадь x² + 4x + 3. Здесь x² — исходный квадрат, 4x — суммарные полосы,
3 — угловой прямоугольник. Нарисуйте разбиение и сопоставьте каждый член области.

Задание

Обязательное. Приведите к стандартному виду:
(4x² − 3x + 2) + (x² + 5x − 7),
(2x − 3)(x + 4) и (x − 5)². Укажите степень, коэффициенты и выполните
проверку каждого преобразования при x = −1.

На своих данных. Задайте стороны прямоугольника линейными выражениями,
найдите многочлен площади и объясните его части рисунком.

По желанию. Выведите формулу (a + b)³, последовательно умножая многочлены,
и проверьте её на небольших числах.

Открытая перспектива

Многочлен второй степени задаёт не прямую, а параболу. Следующий урок свяжет её
формулу, корни, вершину и жизненную задачу о максимуме или минимуме.

Оглавление курса