Отрицательные числа: положение и движение относительно нуля

Где мы на карте

Натуральные числа описывают количество предметов, но не все жизненные величины
начинаются с нуля и идут только вверх. Температура ниже нуля, этаж под землей,
долг и движение назад требуют продолжить числовую прямую влево.

Сначала знакомый образ

Утром было −3 °C, днем температура поднялась на 7 градусов. На термометре мы
начинаем у отметки −3 и двигаемся вверх: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Итог 4 °C.
Мы не складываем отдельно цифры 3 и 7; мы соединяем положение и направление.

Ноль здесь не означает «ничего не существует». Он является выбранной границей:
температурой замерзания воды на шкале Цельсия, уровнем земли в лифте или нулевым
балансом счета.

Точное значение

Положительные числа находятся справа от нуля, отрицательные — слева.
Чем правее точка, тем число больше. Поэтому −2 > −5: отметка −2 правее, хотя
цифра 2 меньше цифры 5.

Числа 5 и −5 противоположны: они находятся на одинаковом расстоянии от нуля
в разных направлениях. Это расстояние называется модулем: |−5| = 5.

Знак минус выполняет разные роли. В −4 он часть записи отрицательного числа.
В 7 − 4 он обозначает действие вычитания. В −(−4) первый минус означает
«взять противоположное число», поэтому результат равен 4.

Опорный сигнал урока

число = положение; знак изменения = направление

вправо — больше; влево — меньше; расстояние до нуля = модуль

Разобранный пример

Вычислим −3 + 7.

1. Начальная точка — −3.
2. Прибавляется положительное 7, значит двигаемся на семь единиц вправо.
3. До нуля три шага, после нуля остаются четыре шага.
4. Останавливаемся в точке 4.
5. Проверка обратным изменением: 4 − 7 = −3.

Так возникает ответ, а не правило «из большего модуля вычесть меньший» само по
себе. Короткое правило лишь сжимает движение по прямой.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Вычислите 2 − 6.

Вычесть 6 — пройти ____ шагов влево от точки ____. После двух шагов достигаем
нуля, остаются четыре шага. Ответ ____.

Теперь −4 − (−3). Вычитание отрицательного изменения отменяет движение влево,
поэтому превращается в три шага вправо: −4 + 3 = −1.

Умножение знаков через сохранение закономерности

Ряд 3 × 2 = 6, 2 × 2 = 4, 1 × 2 = 2, 0 × 2 = 0 уменьшается каждый раз
на 2. Следующее значение обязано быть −2, поэтому −1 × 2 = −2.

Если второй множитель отрицателен, можно использовать противоположность:
3 × (−2) = −6, а −3 × (−2) — число, противоположное 3 × (−2), то есть 6.
Произведение двух отрицательных положительно не по заклинанию, а потому что
двойное изменение направления возвращает исходное направление.

Воспроизведите без подсказки

Нарисуйте прямую от −6 до 6. Покажите на ней −5 + 8, 3 − 7 и расстояние
между −4 и 2. Объясните, почему расстояние равно 6, а не −6.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик заявил: «−9 больше −4, потому что 9 больше 4». Он сравнил модули вместо
положений. На прямой −9 левее −4, значит −9 < −4. Больший модуль у
отрицательного числа означает большее расстояние влево и меньшее значение.

Перенос в новую ситуацию

Баланс счета равен −12 000 тенге. Поступило 20 000 тенге, затем списали 3500.
Изменение записывается −12000 + 20000 − 3500 = 4500. Положительный итог
означает не «прибыль вообще», а положение на 4500 выше выбранного нулевого
баланса.

Задание

Обязательное. Решите на прямой −7 + 12, 5 − 13, −4 − (−9) и найдите
расстояние между −6 и 3. Для каждого примера назовите начальную точку,
направление и число шагов.

На своих данных. Запишите историю температуры, лифта или баланса из трех
изменений, включающую переход через ноль. Решите и объясните смысл знака ответа.

По желанию. Продолжите закономерность произведений, чтобы самостоятельно
восстановить четыре сочетания знаков при умножении.

Открытая перспектива

Следующий урок разберет внутреннее устройство целых чисел: какие числа можно
собрать прямоугольниками несколькими способами, какие имеют только два делителя
и как разложение помогает дробям.

Оглавление курса