Уравнение как весы: сохраняем равенство и находим неизвестное

Где мы на карте

Мы умеем называть переменную и преобразовывать выражения. Уравнение утверждает,
что два выражения имеют одинаковое значение. Решить уравнение — найти все
допустимые значения переменной, при которых это утверждение верно.

Сначала знакомый образ

На левой чаше весов лежат три одинаковых закрытых пакета и гиря 5 кг. На правой
чаше — 26 кг. Весы уравновешены, поэтому 3x + 5 = 26, где x — масса одного
пакета в килограммах.

Если убрать только левую гирю, равновесие исчезнет. Нужно убрать по 5 кг с обеих
чаш: 3x = 21. Теперь три одинаковых пакета весят 21 кг. Делим обе чаши на три
равные части и получаем x = 7 кг.

Равносильные шаги

Наша цель — оставить переменную одну. Разрешены действия, которые сохраняют
множество решений:

• прибавить к обеим частям одно и то же число или выражение;
• вычесть из обеих частей одно и то же;
• умножить обе части на одно и то же ненулевое число;
• разделить обе части на одно и то же ненулевое число;
• заменить выражение равным ему выражением.

Фраза «перенесли через знак и поменяли знак» слишком легко скрывает смысл.
На самом деле мы вычитаем или прибавляем одну величину с обеих сторон.

Опорный сигнал урока

упростить части → убрать добавленное → убрать множитель → проверить подстановкой

После каждого шага задайте вопрос: «Что я сделал с левой частью и сделал ли то
же самое с правой?»

Разобранный пример

Решим 3x + 5 = 26.

1. Вычитаем 5 из обеих частей:
   3x + 5 − 5 = 26 − 5.
2. Упрощаем: 3x = 21.
3. Делим обе части на 3: x = 7.
4. Подставляем в исходное уравнение, а не только в последнюю строку:
   3 × 7 + 5 = 21 + 5 = 26.
5. Левая часть равна правой, значит 7 действительно является решением.

Ответ без проверки остаётся предположением. Подстановка также обнаруживает
ошибку знака, арифметики или неверное раскрытие скобок.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Решите 5(y − 2) = 3y + 8.

Сначала раскройте скобки. Затем соберите части с y на одной стороне, выполняя
одинаковое действие с обеими частями. После этого отделите постоянное число и
коэффициент. Запишите проверку в исходной записи со скобками. Если получилось
y = 9, сравните обе части; если нет — найдите первый шаг, где равенство
перестало выполняться.

Особые результаты

Не каждое уравнение имеет ровно одно решение.

В 2(x + 3) = 2x + 6 после раскрытия скобок обе части совпадают. Равенство
верно при любом x, поэтому решений бесконечно много.

В 2(x + 3) = 2x + 7 переменные исчезают, а остаётся ложное 6 = 7. Ни одно
число не исправит противоречие, поэтому решений нет. Это содержательные ответы,
а не поломка метода.

Воспроизведите без подсказки

Объясните, почему нельзя разделить только левую часть уравнения. Решите
4x − 9 = 19 и проговорите смысл каждого шага. Затем придумайте по одному
уравнению с единственным решением, без решений и с бесконечным числом решений.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик решал 2x − 7 = 11 и написал 2x = 4, потому что «перенёс −7 вправо,
не меняя знак». На весах нужно прибавить 7 к обеим частям:
2x − 7 + 7 = 11 + 7, откуда 2x = 18 и x = 9. Проверка:
2 × 9 − 7 = 11.

Ещё одна ошибка — делить на коэффициент только одно слагаемое. Если
3x + 6 = 24, деление всей левой части на 3 требует разделить и 3x, и 6.
Проще сначала вычесть 6, сохраняя ясную цель.

Перенос в новую ситуацию

После скидки 20% куртка стоит 24 000 тенге. Пусть p — исходная цена. После
скидки остаётся 80%, поэтому 0,8p = 24 000. Деление обеих частей на 0,8 даёт
p = 30 000. Проверка скидкой: 20% от 30 000 равны 6000, остаток 24 000.

Здесь уравнение помогает идти от известного результата назад, не угадывая
исходную цену.

Задание

Обязательное. Решите и проверьте подстановкой:
4x + 7 = 31, 3(x − 2) = 15, 5x + 4 = 2x + 25 и
2(3x + 1) = 6x + 2. Для последнего примера объясните, почему ответ отличается
по типу от первых трёх.

На своих данных. Составьте уравнение по чеку, тарифу или измерению, где
известен итог и нужно восстановить исходную величину. Назовите единицы и
проверьте ответ по условию.

По желанию. Сконструируйте уравнение без решений, изменив ровно одно число в
тождестве 4(x + 2) = 4x + 8. Покажите, во что превращается равенство после
упрощения.

Открытая перспектива

Уравнение описывает условие для числа. Следующий урок даст числам адреса на
плоскости и превратит пары значений в точки, расстояния и будущие графики.

Оглавление курса