Сложение и вычитание: изменение, сравнение и обратный путь

Где мы на карте

Счет отвечает «сколько», разряды объясняют запись. Теперь связываем две основные
операции. Сложение и вычитание нужны не как столбики цифр, а как модели изменения
и сравнения. Ошибка в выборе модели опаснее арифметической ошибки.

Сначала знакомый образ

На карте транспорта было 268 тенге, затем ее пополнили на 157 тенге. Деньги
объединяются: сумма становится больше. Если после поездки списали 90 тенге,
ищем остаток: сумма становится меньше.

Но вычитание отвечает и на другой вопрос: на сколько 425 больше 268? Здесь
ничего физически не забирают. Мы измеряем расстояние между двумя количествами.

Точное значение

Сложение находит целое по известным частям или новое значение после
увеличения. Вычитание находит оставшуюся часть, неизвестное слагаемое или
разность двух величин.

Связь операций записывается семейством равенств. Если 268 + 157 = 425, то:

• 157 + 268 = 425;
• 425 − 157 = 268;
• 425 − 268 = 157.

Эта связь дает проверку. Результат вычитания должен вернуть исходное число при
сложении с вычтенным.

Опорный сигнал урока

часть + часть = целое

целое − часть = другая часть

большее − меньшее = расстояние между ними

Разобранный пример

Вычислим 268 + 157 разрядно.

1. Единицы: 8 + 7 = 15. Оставляем 5 единиц, 10 единиц обмениваем на 1 десяток.
2. Десятки: 6 + 5 + 1 = 12 десятков. Оставляем 2 десятка, 10 десятков
   обмениваем на 1 сотню.
3. Сотни: 2 + 1 + 1 = 4 сотни.
4. Получаем 425.
5. Оценка: 270 + 160 ≈ 430, значит 425 правдоподобно.
6. Обратная проверка: 425 − 157 = 268.

Мы переносили не «единичку над цифрой», а одну новую разрядную единицу.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Вычислите 503 − 278.

В единицах из 3 нельзя вычесть 8. В разряде десятков ноль, поэтому сначала
обменяйте одну сотню на десять десятков, затем один десяток на десять единиц.
После обмена разряды выглядят как 4 сотни, 9 десятков, 13 единиц.

13 − 8 = __, 9 − 7 = __, 4 − 2 = __.

Ответ 225. Проверьте: 225 + 278 = 503.

Как выбрать действие в задаче

Слова «всего» или «осталось» помогают, но не заменяют смысл. Фраза «на 12
больше» может требовать сложения, если известна меньшая величина, или вычитания,
если известны обе. Нарисуйте отрезок: целое и части либо две величины и расстояние
между ними. Только после этого выбирайте знак.

Воспроизведите без подсказки

Закройте карту и восстановите четыре равенства для чисел 34, 19 и 53.
Объясните, почему перестановка слагаемых разрешена, а 53 − 19 и 19 − 53 в
мире неотрицательных количеств отвечают на разные вопросы.

Найдите и исправьте ошибку

При вычислении 402 − 185 ученик написал 383: отдельно вычел меньшую цифру из
большей в каждом столбце. Но разряды нельзя переставлять местами. Правильный
обмен дает 12 − 5 = 7, 9 − 8 = 1, 3 − 1 = 2, то есть 217. Проверка:
217 + 185 = 402.

Перенос в новую ситуацию

До станции 840 метров. Пройдено 365 метров. Можно спросить остаток пути:
840 − 365 = 475 метров. Можно спросить, на сколько весь путь длиннее
пройденного: действие то же, но смысл результата другой. Единица «метр» обязана
остаться в ответе.

Задание

Обязательное. Решите 487 + 368, 700 − 456 и задачу: «В библиотеке было
1250 книг, поступило 86, а 39 списали». Для каждого действия дайте оценку до
вычисления и обратную проверку после него.

На своих данных. Возьмите две цены или два показания счетчика. Составьте одну
задачу на изменение и одну на сравнение, даже если вычисление у них одинаковое.

По желанию. Объясните разрядный обмен человеку, который знает только идею
пачек по десять. Не используйте слова «занять» и «перенести единичку».

Открытая перспектива

Повторяющееся сложение приводит к умножению, а поиск числа равных групп — к
делению. В следующем уроке обе операции появятся из одного прямоугольного массива.

Оглавление курса