Разряды: место цифры показывает размер единицы

Где мы на карте

Мы уже умеем устанавливать количество. Теперь нужен компактный способ его
записать. Десятичная система использует всего десять цифр, потому что значение
цифры зависит от места. Эта опора понадобится для переноса при сложении,
десятичных дробей, округления и оценки.

Сначала знакомый образ

На складе отдельные карандаши связывают в пачки по десять. Десять пачек кладут в
коробку — это сто карандашей. Десять коробок составляют ящик — тысячу. Каждый
шаг влево делает единицу в десять раз крупнее.

Если коробок нет, место для них не исчезает. В числе 4 072 ноль сообщает:
полных сотен нет. Без него запись 472 означала бы совсем другое количество.

Точное значение

Разряд — место цифры в записи числа. Справа налево идут единицы, десятки,
сотни, тысячи. Поэтому

4 072 = 4 × 1000 + 0 × 100 + 7 × 10 + 2 × 1.

Цифра 7 сама по себе обозначает семь, но в разряде десятков она представляет
семь десятков, то есть 70. Цифра 4 в разряде тысяч представляет 4000.

У каждого конечного числа есть единственная разрядная запись без лишних нулей
слева. Записи 4072 и 004072 называют одно число, но ведущие нули обычно не
пишут. Ноль внутри числа удерживает пустое место.

Опорный сигнал урока

10 единиц = 1 десяток → 10 десятков = 1 сотня → 10 сотен = 1 тысяча

И обратный ход:

1 тысяча = 10 сотен = 100 десятков = 1000 единиц.

Разобранный пример

Разложим число 5 306.

1. 5 стоит в тысячах: 5 × 1000 = 5000.
2. 3 стоит в сотнях: 3 × 100 = 300.
3. 0 удерживает пустой разряд десятков.
4. 6 означает шесть единиц.
5. Получаем 5000 + 300 + 0 + 6 = 5306.

Проверка идет в обратную сторону: соберите слагаемые в одну запись. После 53
сотен нет десятков, поэтому между 3 и 6 нужен ноль.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Запишите число, в котором 8 тысяч, 2 сотни, 4 десятка и 9 единиц.

8 × 1000 + 2 × ___ + 4 × ___ + 9 = ____.

Ответ: 8249. Теперь измените условие: десятков нет. Получится 8209, а не
829. Назовите вслух пустой разряд, прежде чем писать ноль.

Сравнение многозначных чисел

Сначала сравнивайте самый крупный разряд. У 4 980 четыре тысячи, у 5 012 —
пять, поэтому второе число больше независимо от остальных цифр. Если старшие
разряды равны, переходите на один шаг вправо.

Так же работает округление. Чтобы округлить 4 072 до сотен, смотрим на десятки.
Там 7, поэтому четыре тысячи ноль сотен увеличиваются до одной сотни:
4 072 ≈ 4 100. Знак ≈ означает «приблизительно равно», а не точное равенство.

Воспроизведите без подсказки

Закройте схему и разложите 7 045 по разрядам. Объясните роль каждого нуля.
Затем соберите число из 6 × 1000 + 9 × 10 + 1. Если написали 691, проверьте,
куда исчез пустой разряд сотен.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик записал: 3 040 = 3 × 1000 + 4 × 100. Он увидел цифры, но не их места.
Четверка стоит в разряде десятков, поэтому верно:
3 040 = 3 × 1000 + 4 × 10. Быстрая проверка: ошибочная сумма равна 3400, а не
3040.

Перенос в новую ситуацию

Одометр показывает 09 998. После двух километров он покажет 10 000.
Две единицы вызвали цепочку обменов: десять единиц стали десятком, десять
десятков — сотней, десять сотен — тысячей, а десять тысяч потребовали нового
разряда. Та же идея позже объяснит перенос в столбик.

Задание

Обязательное. Для чисел 6 205, 980, 10 040 запишите разрядную сумму,
назовите значение каждой ненулевой цифры и округлите число до сотен. Каждый знак
≈ объясните по соседнему младшему разряду.

На своих данных. Найдите дома число не меньше тысячи: показание счетчика,
цену или номер. Измените одну цифру и объясните, во сколько раз изменилось ее
разрядное значение.

По желанию. Представьте 1 000 тремя разными способами через сотни, десятки
и единицы. Проверьте каждую сумму.

Открытая перспектива

Теперь можно объяснить письменное сложение и вычитание без фразы «занимаем у
соседа»: мы будем обменивать одну крупную разрядную единицу на десять меньших и
возвращать обмен обратным действием.

Оглавление курса