Линейное пространство и базис: из каких направлений собирается вектор

Где мы на карте

Матрица смешивала компоненты входа. Теперь выясним, почему набор компонентов вообще описывает вектор и какие направления можно выбрать вместо привычных горизонтали и вертикали.

Сначала знакомый образ

Чтобы назвать точку в городе, можно идти по улицам север–юг и восток–запад. Можно выбрать две другие непараллельные дороги: маршрут изменится, но точка останется той же. Выбранные независимые направления играют роль базиса.

Точное значение

Линейная комбинация векторов b₁,…,bₖ имеет вид c₁b₁+…+cₖbₖ. Их линейная оболочка — все векторы, которые так получаются. Векторы линейно независимы, если нулевая комбинация возможна только при всех коэффициентах, равных нулю. Базис пространства одновременно независим и порождает всё пространство; число базисных векторов называется размерностью.

Перед вычислением назовите вход, выход и размер каждого объекта. Если числа описывают реальную ситуацию, подпишите единицы строк, столбцов и коэффициентов.

Держите рядом четыре представления: таблицу чисел, действие на конкретный вектор, геометрический рисунок и словесный смысл. Переходите между ними в обе стороны. Так вычисление перестаёт быть набором механических действий: неверный размер обнаруживается до счёта, а неверный результат — по геометрии или прямой подстановке.

Сначала предскажите направление или порядок ответа, затем считайте. После результата обязательно выполните прямую проверку: перемножьте обратно нужные объекты, соберите линейную комбинацию или подтвердите равенство Av=λv по компонентам.

Опорный сигнал урока

векторы → линейные комбинации → что они порождают → независимы ли → базис → координаты

Проговорите сигнал вслух и восстановите без страницы. Для каждой стрелки назовите условие, которое разрешает переход.

Разобранный пример

Возьмём b₁=(1,1) и b₂=(1,−1). Для v=(6,2) решаем c₁+c₂=6, c₁−c₂=2. Получаем c₁=4, c₂=2, значит v=4b₁+2b₂. Эти координаты единственны, потому что b₁ и b₂ не параллельны.

Проверьте пример вторым представлением: размерами, системой уравнений, геометрией, сборкой из базиса или прямым умножением.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Проверьте, образуют ли p=(2,1) и q=(−1,2) базис плоскости. Затем разложите w=(3,4) по p и q; сначала составьте систему для коэффициентов.

Первый шаг выполните по подсказке, второй — после собственного прогноза, а завершение и проверку сделайте без образца.

Воспроизведите без подсказки

Без страницы определите линейную комбинацию, оболочку, независимость, базис и размерность. Свяжите пять слов одной цепочкой причин.

Добавьте контрпример, в котором нарушено одно условие, и объясните, где именно перестаёт работать правило.

Найдите и исправьте ошибку

Ошибка: назвать a=(1,2) и b=(2,4) базисом плоскости, потому что векторов два. Они параллельны, поэтому порождают лишь одну прямую, а представление на этой прямой не единственно.

Исправление полно, когда названа причина, восстановлен верный шаг и показана независимая проверка.

Перенос в новую ситуацию

Выберите две непараллельные дороги, два цвета или два независимых измеряемых признака. Покажите, как объект описывается коэффициентами относительно выбранных опор и что сломается при совпадении направлений.

Отделите точную линейную модель от реального объекта. Укажите, что именно считается постоянным и при каком изменении линейность перестанет быть разумным допущением.

Задание

Обязательное. Для a=(1,2,0), b=(0,1,1), c=(1,3,1) определите зависимость. Найдите два независимых вектора, задающих ту же плоскость, и двумя способами запишите r=(2,5,1) как линейную комбинацию трёх исходных векторов. Объясните, почему коэффициенты не единственны.

На своих данных. Придумайте небольшой пример той же структуры, подпишите входы и выходы, выполните вычисление и проверьте его другим способом.

По желанию. Через семь дней измените числа или базис и решите задачу без опорной схемы. Сравните рассуждение, а не только ответ.

Открытая перспектива

Некоторые направления матрица не поворачивает: она только растягивает, сжимает или меняет их знак. Это собственные направления.

Оглавление курса