Степени и корни: повторное умножение и обратный вопрос

Где мы на карте

Умножение сокращает повторное сложение, а степень сокращает повторное умножение.
Корень задаёт обратный вопрос: какое неотрицательное число в данной степени даёт
известный результат?

Сначала знакомый образ

Квадрат со стороной 5 имеет площадь 5 × 5 = 5² = 25. Куб со стороной 3 имеет
объём 3 × 3 × 3 = 3³ = 27. Верхняя цифра сообщает, сколько одинаковых
множителей участвует. Она не означает умножение основания на показатель:
5² равно 25, а не 10.

В записи aⁿ число или выражение a — основание, n — показатель.

Правила рождаются из записи

2³ × 2⁴ содержит три множителя 2 и ещё четыре. Всего семь, поэтому
2³ × 2⁴ = 2⁷. При одинаковом основании показатели складываются.

При делении одинаковые множители сокращаются: a⁷/a³ = a⁴, если a ≠ 0.
Степень степени умножает показатели: (a²)³ содержит три группы по два
множителя, значит равна a⁶.

Эти правила нельзя переносить на сложение: 2³ + 2⁴ не равно 2⁷.

Опорный сигнал урока

основание → число множителей → раскрыть смысл → применить правило → оценить → проверить

Для корня:
√A = неотрицательное число, квадрат которого равен A.

Разобранный пример

Упростим 2³ × 2⁴ и свяжем ответ с корнем.

1. Раскрываем: (2×2×2)(2×2×2×2).
2. Считаем семь множителей: 2⁷ = 128.
3. Проверяем отдельно: 8 × 16 = 128.
4. Для √144 ищем неотрицательное число с квадратом 144.
5. 12² = 144, поэтому √144 = 12.

Но уравнение x² = 144 имеет два решения: x = 12 и x = −12, потому что
квадрат обоих чисел равен 144. Знак корня обозначает одно неотрицательное
значение, а уравнение спрашивает все подходящие x.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Упростите (3²)⁴ ÷ 3⁵. Сначала определите общее число множителей в числителе,
затем сократите знаменатель. Запишите итог степенью и числом. Проверьте правило
на меньшем похожем примере, если вычисление стало громоздким.

Нулевая и отрицательная степени

Из деления a³/a³ = 1 и правила показателей получается a⁰ = 1 при a ≠ 0.
Чтобы последовательность степеней сохраняла деление на a, определяют
a⁻¹ = 1/a, а в общем случае a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Отрицательный показатель не делает значение отрицательным. Он переворачивает
степень в дробь.

Воспроизведите без подсказки

Объясните a³, не используя фразу «а в кубе». Выведите правила произведения и
степени степени через множители. Найдите 10⁰, 2⁻³, √81 и все решения
x² = 81.

Найдите и исправьте ошибку

Ученик написал (2³)² = 2⁵, сложив показатели. Но здесь две группы по три
множителя: показатели умножаются, (2³)² = 2⁶ = 64. Сложение показателей
работает у произведения 2³ × 2².

Другая ошибка: √49 = ±7. Арифметический корень равен 7. Знаки ±7 появляются
при решении уравнения x² = 49.

Перенос в новую ситуацию

Квадратный участок имеет площадь 196 м². Длина стороны равна √196 = 14 м.
Отрицательная длина не подходит смыслу. Если площадь увеличить в 4 раза, сторона
увеличится в 2 раза, потому что √(4 × 196) = 2 × 14.

Задание

Обязательное. Упростите 5² × 5³, 7⁶ ÷ 7², (2³)⁴, 10⁻² и
3⁴ + 3². Найдите √225, ∛125 и решения x² = 225. Каждое правило один раз
обоснуйте раскрытием множителей.

На своих данных. Измерьте сторону квадратного предмета, вычислите площадь,
а затем восстановите сторону корнем. Укажите единицы.

По желанию. Объясните, почему √(a²) = |a|, проверив положительное и
отрицательное значение a.

Открытая перспектива

Степени позволят собирать выражения из членов разных степеней. Следующий урок
научит складывать и умножать многочлены, сохраняя каждый коэффициент и степень.

Оглавление курса