Дифференциалдық теңдеулер: өзгеру заңы үдеріс моделі ретінде

Картадағы орнымыз

Енді бастапқы дерек — шаманың өзімен оның өзгеру жылдамдығы арасындағы байланыс.

Алдымен таныс бейне

Шотқа әр уақыт бөлігінде ағымдағы соманың пайызы қосылса, жинақ көбейген сайын өсім де ұлғаяды. «Жылдамдық мөлшерге пропорционал» сөзі y′=ky моделіне айналады.

Дәл мағынасы

Дифференциалдық теңдеу белгісіз функцияны оның туындыларымен байланыстырады. y=Ce^{kt} үйірі y′=ky теңдеуін шешеді, ал y(0)=y₀ бастапқы шарты C=y₀ таңдайды. k таңбасы өсу не кемуді береді, k бірлігі уақыт бірлігіне кері.

Сабақтың тірек сигналы

мағына → модель → есептеу → тексеру → өз сөзіңмен түсіндіру

шамалар → сөздік заң → теңдеу → шешімдер үйірі → бастапқы шарт → тексеру → модель шегі

Талданған мысал

y′=0,05y, y(0)=100 үшін y=100e^{0,05t}. Тексеру: y′=5e^{0,05t}=0,05y, ал t=0 кезінде мән 100.

Көмегі азайған мысал

Мысалдағы сандарды өзгертіп, шешімді дайын жолға қарамай қайталаңыз. Алдымен нәтижені шамалаңыз, содан кейін дәл есептеп, бастапқы шартпен тексеріңіз.

Көмексіз жаңғыртыңыз

1. Негізгі ұғымды бір сөйлеммен анықтаңыз.
2. Тірек сигналын жапқан күйде қайта жазыңыз.
3. Мысалды басқа сандармен шешіп, әр қадамның себебін айтыңыз.

Қатені тауып түзетіңіз

Кему моделінде оң k алып, әрекетті тексермеу қате. Орнына қою, таңба, бірлік және үлкен уақыттағы шек үдеріспен үйлесуі керек.

Жаңа жағдайға көшіру

Осы байланысты өзіңіз өлшей алатын жағдайға қолданыңыз. Шамаларды, өлшем бірліктерін және модель жарамды болатын шекараны атаңыз. Жауапты екінші тәсілмен немесе кері амалмен тексеріңіз.

Тапсырма

Міндетті. M′=−0,3M, M(0)=50 заңы бойынша зат мөлшерін M(t), 10 бірлікке жету уақытын табыңыз; шешімді туынды және монотондылық арқылы тексеріңіз.

Өз дерегіңізбен. Күнделікті өмірден осы құрылымға сай бір мысал құрып, оны сөзбен, формуламен және тексерумен көрсетіңіз.

Қалауыңызша. Жеті күннен кейін сандарды ауыстырып, тірекке қарамай қайталаңыз.

Ашық перспектива

Бақылау нүктесі шек, туынды, оңтайландыру, интеграл және дифференциалдық модельді бір жүйеде біріктіреді.

Курс мазмұны