Пропорция и масштаб: какая связь должна сохраниться

Где мы на карте

Пропорция — равенство двух отношений: a/b = c/d. Она работает, когда условие
гарантирует сохранение связи. Механическое умножение крест-накрест без проверки
этого условия создает правдоподобные ответы к неверной модели.

Сначала знакомый образ

Если две порции краски имеют один оттенок, отношение синей основы к белой в них
одинаково: 2/3 = 6/9. Вторая порция в три раза больше первой по каждому
компоненту. Весы на схеме уравновешены не из-за внешнего вида дробей, а потому
что обе обозначают одно число.

Прямая пропорциональность

При прямой пропорциональности увеличение одной величины в k раз увеличивает
другую в k раз. Цена при постоянной цене за килограмм, путь при постоянной
скорости и ингредиенты одного рецепта — примеры прямой связи.

Запись y = kx показывает постоянное отношение y/x = k. График проходит
через начало координат: нулевое количество при отсутствии фиксированной платы
стоит ноль.

Обратная пропорциональность

Если одну и ту же работу делят одинаково производительные люди, увеличение
числа работников может уменьшить время. При идеальных условиях произведение
работники × время остается постоянным. Удвоили работников — время уменьшилось
вдвое. Это обратная, а не прямая связь.

Реальная жизнь добавляет ограничения: девять человек не обязательно построят
дом в девять раз быстрее одного. Модель применима только пока условия сохраняют
производительность и работу можно делить.

Опорный сигнал урока

что неизменно? → прямая или обратная связь? → единицы → расчет → проверка

Если неизменную величину назвать невозможно, пропорция может быть неуместна.

Разобранный пример

Масштаб карты 1:50 000. Расстояние на карте 7,2 см. Каково расстояние на
местности?

1. Масштаб означает: 1 см на карте соответствует 50 000 см на местности.
2. Связь прямая: больше длина на карте — пропорционально больше реальная длина.
3. 7,2 × 50 000 = 360 000 см.
4. Переводим единицы: 360 000 см = 3 600 м = 3,6 км.
5. Проверка: 2 см — 1 км, значит 7,2 см должны дать 3,6 км.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Шесть насосов одинаковой мощности заполняют резервуар за 10 часов. Сколько
времени потребуется 15 насосам в идеальной модели?

Работа постоянна. Число насосов выросло в 15/6 = 2,5 раза, поэтому время должно
уменьшиться в 2,5 раза: 10 ÷ 2,5 = 4 часа. Проверка произведением:
6 × 10 = 15 × 4 = 60 насосо-часов.

Самостоятельно решите для 12 насосов и объясните, почему обычная прямая пропорция
дала бы бессмысленный рост времени.

Почему «крест» работает

Из равенства a/b = c/d можно умножить обе части на bd, не меняя равенства.
Получим ad = bc. Это следствие равных отношений. Оно помогает вычислять, но
до записи равенства нужно доказать, что отношения действительно сравнимы и
единицы стоят в одинаковом порядке.

Воспроизведите без подсказки

1. Назовите по два примера прямой и обратной зависимости.
2. Объясните, что сохраняется в каждом примере.
3. Переведите масштаб 1:100 000 в фразу о сантиметрах и километрах.
4. Решите 3/5 = x/35 двумя способами.

Найдите и исправьте ошибку

Четыре билета стоят 12 000 тенге. Нурлан решил, что десять билетов стоят 30 000,
не проверив условия. Расчет верен только при постоянной цене одного билета и
отсутствии групповой скидки или комиссии. Дополните условие, назовите постоянное
отношение и затем подтвердите ответ.

Перенос в новую ситуацию

Такси берет 700 тенге за посадку и 120 тенге за километр. Общая цена не прямо
пропорциональна расстоянию: при нуле километров остается фиксированная плата.
Но переменная часть цены прямо пропорциональна. Запишите модель словами и
предскажите, пройдет ли график общей цены через начало координат.

Задание

Обязательное. Для приготовления раствора 3 литра концентрата смешивают с 12
литрами воды. Нужно получить 40 литров раствора той же концентрации. Найдите
объемы обоих компонентов. Покажите решение через одну долю и через пропорцию,
проверьте общий объем и сохранение отношения. Затем объясните, почему задача
прямая, а не обратная.

На своих данных. Возьмите рецепт, карту или постоянную цену. Составьте прямую
и обратную задачу и проверьте единицы.

По желанию. Приведите пример, где пропорция выглядит уместной, но нарушается
из-за фиксированной части, предела мощности или скидки.

Открытая перспектива

Следующий урок соберет весь маршрут. В нем будут незнакомые контексты, смешанные
способы и проверка через неделю — именно так понимание отделяется от узнавания.

Оглавление курса