Сравнение дробей: поставить числа на одну шкалу

Где мы на карте

Сравнение отвечает на простой вопрос: какая точка правее на числовой прямой?
Трудность появляется, когда дроби измерены разными долями. Треть и четверть —
как метры и сантиметры: сначала нужен общий масштаб.

Сначала знакомый образ

Половина литра и две трети литра относятся к одному целому литру. Представьте
две одинаковые бутылки. Первая заполнена до середины, вторая — на две из трех
равных частей. Видно, что 2/3 больше 1/2. Числовая прямая сохраняет тот же
порядок без бутылок.

Три надежных способа

Общий знаменатель. Превратите доли в одинаковые: 3/4 = 9/12,
2/3 = 8/12, поэтому 3/4 > 2/3.

Общий числитель. Если взято одинаковое число долей, крупнее та дробь, у
которой каждая доля крупнее: 3/7 > 3/8.

Ориентиры. Сравните с 0, 1/2 и 1. Например, 5/9 > 1/2, потому что
половина от 9 — 4,5 доли, а взято 5; 4/9 < 1/2. Значит 5/9 > 4/9 без
дополнительных вычислений.

Умножение крест-накрест дает верный тест для положительных знаменателей, но не
объясняет величину. Мы используем его позднее как короткую запись уже понятного
приведения к общей шкале.

Опорный сигнал урока

одно целое → одна шкала → точки на прямой → левее/правее → проверка ориентиром

Если «целое» разное, сравнение может стать бессмысленным. Половина большого
торта может быть больше трех четвертей маленького. Дроби как числа сравнивают
при одной единице измерения.

Разобранный пример

Сравним 7/10 и 5/8.

1. Обе дроби между 1/2 и 1; грубая оценка пока не решает вопрос.
2. Общий знаменатель для 10 и 8 — 40.
3. 7/10 = 28/40, потому что умножили на 4.
4. 5/8 = 25/40, потому что умножили на 5.
5. 28/40 > 25/40, следовательно 7/10 > 5/8.
6. Проверка десятичным приближением: 0,7 больше 0,625.

Пример с уменьшающейся подсказкой

Сравните 11/12 и 7/8. Обе близки к единице. Иногда удобнее сравнить, сколько
не хватает: до целого первой дроби не хватает 1/12, второй — 1/8. Меньшая
недостача означает большую дробь. Так как 1/12 < 1/8, получаем 11/12 > 7/8.

Теперь сравните 9/10 и 17/20 тем же способом. Запишите недостачу до единицы
и объясните ответ.

Воспроизведите без подсказки

1. Назовите три способа сравнения.
2. Сравните 4/5 и 7/10 двумя способами.
3. Расположите 1/3, 5/6, 1/2, 3/4 по возрастанию.
4. Придумайте две дроби по разные стороны от 1/2.

Найдите и исправьте ошибку

Данияр решил, что 4/9 > 3/5, потому что 4 больше 3 и 9 больше 5. Он сравнил
числители и знаменатели отдельно, хотя знаменатель 9 делает каждую долю меньше.
Поставьте дроби на общий знаменатель или сравните их с 1/2, затем исправьте
знак.

Перенос в новую ситуацию

Два маршрута выполнены на 7/12 и 5/8. Какой завершен сильнее? Нельзя
сравнивать число пройденных километров, пока неизвестна полная длина маршрутов,
но можно сравнить доли выполнения. Выберите способ и сформулируйте ответ без
перевода в проценты.

Задание

Обязательное. Расположите 7/8, 5/6, 11/12, 3/4 от меньшей к большей.
Для одной соседней пары используйте общий знаменатель, для другой — недостачу
до единицы. Нарисуйте приблизительное положение всех четырех точек между 0 и 1
и объясните, как рисунок проверяет порядок.

На своих данных. Сравните степень выполнения двух реальных дел: пройденные
страницы книги, накопленную сумму или выполненные пункты списка. Ясно назовите
целое для каждой дроби.

По желанию. Найдите дробь между 2/5 и 1/2 и докажите оба неравенства.

Открытая перспектива

В следующем уроке общая доля станет рабочим инструментом сложения и вычитания,
а рисунок объяснит, почему знаменатели нельзя просто складывать.

Оглавление курса