Проценты: одна сотая вместо трех формул

Где мы на карте

Процент не новая операция. Это отношение к ста: 1% = 1/100. Благодаря общей
шкале можно сравнить заполнение, скидки, доли населения и результаты, даже если
исходные целые различны.

Сначала знакомый образ

Квадрат из 100 одинаковых клеток — удобная единица. Если закрашено 37 клеток,
то закрашено 37/100, или 0,37, или 37%. Это три записи одной доли.

Слово «процент» буквально означает «на сто». Поэтому 250% возможно: это
250/100 = 2,5 исходной величины. Процент не обязан быть частью меньше целого.

Три вопроса, одна связь

В любой процентной задаче есть:

• база — то, что принимают за 100%;
• доля в процентах;
• часть, полученная от базы.

Связь: часть = база × доля, где процент предварительно записан десятичной
дробью. Из нее можно восстановить остальные случаи смыслом, а не памятью.

Например, 15% от 8 000: 15% = 0,15, поэтому 8 000 × 0,15 = 1 200.
После скидки остается 100% − 15% = 85%: 8 000 × 0,85 = 6 800.

Опорный сигнал урока

назвать базу 100% → перевести процент в долю → умножить → проверить размер

Сначала проговорите базу. Рост на 20% и последующее падение на 20% не отменяют
друг друга, потому что второй процент считается уже от новой базы.

Разобранный пример

Зарплата 250 000 тенге выросла на 12%. Какой стала зарплата?

1. База 100% — прежние 250 000.
2. Рост составляет 12/100 = 0,12 базы.
3. Прибавка: 250 000 × 0,12 = 30 000.
4. Новая сумма: 250 000 + 30 000 = 280 000.
5. Короткий путь: новая сумма равна 112% старой, 250 000 × 1,12 = 280 000.
6. Проверка: 10% — 25 000, еще 2% — 5 000, вместе 30 000.

Найти процент по части

Из 40 задач решено 34. Какая доля в процентах?

Доля 34/40 = 0,85. Переводим сотые: 0,85 = 85/100 = 85%. Проверка: 4 задачи
из 40 — это 10%, не решено 6, то есть 15%; решено 85%.

Найти базу

18 000 тенге составляют 30% цены. Если 30% — это 18 000, то 1% равен 600, а
100% равны 60 000. Тот же расчет: 18 000 ÷ 0,30 = 60 000.

Смысл деления: выяснить, сколько долей размера 0,30 помещается в известной части,
чтобы восстановить целое.

Воспроизведите без подсказки

1. Свяжите 7/20, десятичную дробь и процент.
2. Найдите 5%, 10% и 25% от 12 000 без калькулятора.
3. 27 из 45 — сколько процентов?
4. 14 000 составляют 35% какой суммы?

Найдите и исправьте ошибку

Цена выросла с 100 до 120, затем снизилась на 20%. Тимур получил снова 100.
Но снижение считается от новой базы 120: 120 × 0,8 = 96. Рост был 20 единиц,
снижение — 24. Исправьте рассуждение и объясните, почему проценты равны, а
абсолютные изменения различны.

Перенос в новую ситуацию

В отчете сказано: показатель вырос «на 5%», а в другом месте — «на 5 процентных
пунктов». Если доля выросла с 20% до 25%, прирост равен 5 процентным пунктам, но
относительный рост равен (25 − 20)/20 = 25%. Это разные утверждения.

Задание

Обязательное. Магазин сначала снизил цену 80 000 тенге на 15%, затем дал еще
10% скидки от уже сниженной цены. Найдите итоговую цену, общий процент снижения
от исходной базы и объясните, почему скидки нельзя просто сложить в 25%.
Проверьте ответ расчетом через два множителя.

На своих данных. Возьмите реальную цену и придумайте скидку. Посчитайте
экономию и итог, затем выполните обратную проверку.

По желанию. Найдите, на сколько процентов нужно увеличить число 80, чтобы
после уменьшения нового числа на 20% снова получить 80.

Открытая перспектива

В следующем уроке мы соберем отношения, проценты и равные дроби в пропорцию и
научимся отличать прямую связь от обратной.

Оглавление курса